Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.13. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:

1) $-\sqrt{13}$;

2) $\sqrt{7}$;

3) $3 - \sqrt{5}$;

4) $-\sqrt{23}$;

5) $1 - \sqrt{7}$;

6) $4 - \sqrt{5}$.

Для решения этой задачи используется свойство корней квадратных уравнений с рациональными коэффициентами: если один корень уравнения является иррациональным числом вида $a + \sqrt{b}$ (где $a, b$ — рациональные числа), то второй корень обязательно будет ему сопряженным, то есть $a - \sqrt{b}$. Зная оба корня, $x_1$ и $x_2$, можно составить приведенное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) Дан корень $x_1 = -\sqrt{13}$.

Так как коэффициенты уравнения должны быть рациональными, второй корень $x_2$ является сопряженным к первому. Для $x_1 = 0 - \sqrt{13}$ сопряженным будет $x_2 = 0 + \sqrt{13} = \sqrt{13}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -\sqrt{13} + \sqrt{13} = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{13})(\sqrt{13}) = -13$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-13) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 13 = 0$.

2) Дан корень $x_1 = \sqrt{7}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = -\sqrt{7}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{7})(-\sqrt{7}) = -7$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-7) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

3) Дан корень $x_1 = 3 - \sqrt{5}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) = 6$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 4 = 0$.

4) Дан корень $x_1 = -\sqrt{23}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = \sqrt{23}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -\sqrt{23} + \sqrt{23} = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{23})(\sqrt{23}) = -23$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-23) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 23 = 0$.

Ответ: $x^2 - 23 = 0$.

5) Дан корень $x_1 = 1 - \sqrt{7}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 1 + \sqrt{7}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (1 - \sqrt{7}) + (1 + \sqrt{7}) = 2$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7}) = 1^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 - 7 = -6$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 2x + (-6) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

6) Дан корень $x_1 = 4 - \sqrt{5}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 4 + \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{5}) + (4 + \sqrt{5}) = 8$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 8x + 11 = 0$.

Ответ: $x^2 - 8x + 11 = 0$.

8.14. Один из корней уравнения $9x^2 - cx + 12 = 0$ в 3 раза больше другого. Найдите $c$.

Дано квадратное уравнение $9x^2 - cx + 12 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один из корней в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение как $x_2 = 3x_1$.

Для нахождения неизвестного коэффициента $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + k = 0$ (где $k$ — свободный член), теорема Виета устанавливает следующие связи между корнями ($x_1, x_2$) и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{a}$

В нашем уравнении $9x^2 - cx + 12 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 9$, $b = -c$, $k = 12$.

Применим формулы Виета к нашему случаю:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-c}{9} = \frac{c}{9}$

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Мы получили систему из трех уравнений для нахождения $x_1$, $x_2$ и $c$:

$x_2 = 3x_1$
$x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3}$

Подставим первое уравнение ($x_2 = 3x_1$) в третье уравнение системы, чтобы найти корни:

$x_1 \cdot (3x_1) = \frac{4}{3}$

$3x_1^2 = \frac{4}{3}$

$x_1^2 = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Отсюда следует, что $x_1$ может принимать два значения: $x_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ или $x_1 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$.

Рассмотрим оба возможных случая. Если $x_1 = \frac{2}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$. Тогда из уравнения для суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$ получаем $\frac{2}{3} + 2 = \frac{c}{9}$, что дает $\frac{8}{3} = \frac{c}{9}$, и отсюда $c = 24$.

Если же $x_1 = -\frac{2}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2$. Тогда из уравнения для суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$ получаем $-\frac{2}{3} - 2 = \frac{c}{9}$, что дает $-\frac{8}{3} = \frac{c}{9}$, и отсюда $c = -24$.

Таким образом, существуют два возможных значения для параметра $c$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $c=24$ или $c=-24$.

8.15. Один из корней уравнения $x^2 - 4ax + 8 = 0$ на 2 больше другого.

Найдите $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - 4ax + 8 = 0$.

По условию задачи, один корень на 2 больше другого. Без ограничения общности, пусть $x_2 = x_1 + 2$, что равносильно $x_2 - x_1 = 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p = -4a$ и $q = 8$. Таким образом, по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4a) = 4a$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$.

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$, $a$):

$ \begin{cases} x_2 - x_1 = 2 \\ x_1 + x_2 = 4a \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} $

Рассмотрим первые два уравнения системы. Сложив их, получим:

$(x_2 - x_1) + (x_1 + x_2) = 2 + 4a$

$2x_2 = 4a + 2$

$x_2 = 2a + 1$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(x_1 + x_2) - (x_2 - x_1) = 4a - 2$

$2x_1 = 4a - 2$

$x_1 = 2a - 1$

Подставим полученные выражения для $x_1$ и $x_2$ в третье уравнение системы ($x_1 \cdot x_2 = 8$):

$(2a - 1)(2a + 1) = 8$

Левая часть уравнения является разностью квадратов:

$(2a)^2 - 1^2 = 8$

$4a^2 - 1 = 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$4a^2 = 9$

$a^2 = \frac{9}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $a$:

$a = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$a = \pm\frac{3}{2}$

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16a^2 - 32$

Условие $D \ge 0$ эквивалентно $16a^2 - 32 \ge 0$, или $a^2 \ge 2$.

Проверим наши решения:

Если $a = \frac{3}{2}$, то $a^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Так как $2.25 > 2$, условие выполняется.

Если $a = -\frac{3}{2}$, то $a^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Так как $2.25 > 2$, условие также выполняется.

Оба значения параметра $a$ подходят.

Ответ: $a = \frac{3}{2}; a = -\frac{3}{2}$.

8.16. Найдите знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения:

1) $x^2 - 12x - 24 = 0;$

2) $3x^2 - 12x + 4 = 0;$

3) $-x^2 - 7x + 4.8 = 0;$

4) $-3x^2 + 2.2x + 9.24 = 0.$

Для определения знаков корней квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, не решая его, можно использовать теорему Виета. Сначала необходимо убедиться, что действительные корни существуют. Это делается путем проверки знака дискриминанта $D=b^2-4ac$. Если $D \ge 0$, то действительные корни существуют.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Анализ знаков на основе этих соотношений:
1. Если произведение корней $\frac{c}{a} < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
2. Если произведение корней $\frac{c}{a} > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. В этом случае, чтобы определить знак, нужно проанализировать их сумму $-\frac{b}{a}$:
- если $-\frac{b}{a} > 0$, то оба корня положительные;
- если $-\frac{b}{a} < 0$, то оба корня отрицательные.
3. Если $D < 0$, то действительных корней у уравнения нет.

1) $x^2 - 12x - 24 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=-24$.

Сначала проверим, существуют ли корни, вычислив дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 144 + 96 = 240$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь воспользуемся теоремой Виета для определения их знаков.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-24}{1} = -24$.
Так как произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.

2) $3x^2 - 12x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-12$, $c=4$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 144 - 48 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
Произведение положительно, значит, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{3} = 4$.
Сумма корней также положительна. Если сумма и произведение двух чисел положительны, то оба числа положительны.

Ответ: оба корня положительные.

3) $-x^2 - 7x + 4,8 = 0$

Коэффициенты: $a=-1$, $b=-7$, $c=4,8$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4,8 = 49 + 19,2 = 68,2$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4,8}{-1} = -4,8$.
Произведение отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.

4) $-3x^2 + 2,2x + 9,24 = 0$

Коэффициенты: $a=-3$, $b=2,2$, $c=9,24$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (2,2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 9,24 = 4,84 + 110,88 = 115,72$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9,24}{-3} = -3,08$.
Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.

8.17. Один из корней уравнения $cx^2 + x + 4 = 0$ равен 5. Найдите c.

По условию задачи, один из корней уравнения $cx^2 + x + 4 = 0$ равен 5. Это означает, что если подставить значение $x=5$ в уравнение, то получится верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x=5$ в уравнение:

$c \cdot (5)^2 + 5 + 4 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $c$.

Возведем 5 в квадрат:

$c \cdot 25 + 5 + 4 = 0$

Сложим свободные члены:

$25c + 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак:

$25c = -9$

Найдем $c$, разделив обе части уравнения на 25:

$c = -\frac{9}{25}$

При желании, можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$c = -0.36$

Ответ: $c = -\frac{9}{25}$

8.18. Один из корней уравнения $px^2 - 5x + 8 = 0$ в 4 раза больше другого. Найдите p.

Пусть дано квадратное уравнение $px^2 - 5x + 8 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. Согласно условию задачи, один корень в 4 раза больше другого. Без ограничения общности, пусть $x_2 = 4x_1$. Чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $p \neq 0$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем случае коэффициенты равны $a = p$, $b = -5$, $c = 8$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:
1) $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{p} = \frac{5}{p}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{p}$
Теперь у нас есть система уравнений. Подставим в нее известное нам соотношение между корнями $x_2 = 4x_1$:
1) $x_1 + 4x_1 = \frac{5}{p} \implies 5x_1 = \frac{5}{p}$
2) $x_1 \cdot (4x_1) = \frac{8}{p} \implies 4x_1^2 = \frac{8}{p}$
Из первого уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = \frac{5}{5p} = \frac{1}{p}$
Теперь подставим это выражение для $x_1$ во второе уравнение:
$4 \cdot (\frac{1}{p})^2 = \frac{8}{p}$
$4 \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{8}{p}$
$\frac{4}{p^2} = \frac{8}{p}$
Поскольку мы уже установили, что $p \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $p^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$p^2 \cdot \frac{4}{p^2} = p^2 \cdot \frac{8}{p}$
$4 = 8p$
Отсюда находим значение $p$:
$p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Для проверки убедимся, что при $p = 1/2$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot 8 = 25 - 2 \cdot 8 = 25 - 16 = 9$
Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию.
Ответ: $p = \frac{1}{2}$.

8.19. Один из корней уравнения $2ax^2 - 6x + 9 = 0$ в 5 раз больше другого. Найдите $a$.

Пусть дано квадратное уравнение $2ax^2 - 6x + 9 = 0$. Чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Отсюда следует, что $2a \neq 0$, то есть $a \neq 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, один корень в 5 раз больше другого. Запишем это как $x_2 = 5x_1$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$
В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 2a$, $B = -6$, $C = 9$.
Составим систему уравнений на основе теоремы Виета:
1) $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2a} = \frac{6}{2a} = \frac{3}{a}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{2a}$
Теперь подставим в эту систему соотношение между корнями $x_2 = 5x_1$:
1) $x_1 + 5x_1 = \frac{3}{a} \implies 6x_1 = \frac{3}{a} \implies x_1 = \frac{3}{6a} = \frac{1}{2a}$
2) $x_1 \cdot (5x_1) = \frac{9}{2a} \implies 5x_1^2 = \frac{9}{2a}$
Подставим выражение для $x_1$ из первого уравнения во второе:
$5 \left(\frac{1}{2a}\right)^2 = \frac{9}{2a}$
$5 \cdot \frac{1}{4a^2} = \frac{9}{2a}$
$\frac{5}{4a^2} = \frac{9}{2a}$
Поскольку мы установили, что $a \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $4a^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$5 = \frac{9}{2a} \cdot 4a^2$
$5 = 9 \cdot 2a$
$5 = 18a$
Отсюда находим $a$:
$a = \frac{5}{18}$
Для того чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = B^2 - 4AC = (-6)^2 - 4(2a)(9) = 36 - 72a$
$36 - 72a \ge 0 \implies 36 \ge 72a \implies a \le \frac{36}{72} \implies a \le \frac{1}{2}$
Найденное значение $a = \frac{5}{18}$ удовлетворяет этому условию, так как $\frac{5}{18} \le \frac{9}{18}$.
Ответ: $a = \frac{5}{18}$.

8.20. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен:

1) $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}`;

3) $\frac{5}{\sqrt{13} - 2\sqrt{2}}`;

4) $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$;

5) $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}`;

6) $\frac{3}{\sqrt{23} - 2\sqrt{3}}`.

1) Сначала упростим заданный корень, избавившись от иррациональности в знаменателе.
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 1 + \sqrt{2}$.
Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее иррациональный корень вида $a+b\sqrt{d}$, обязательно имеет и второй корень, сопряженный к первому: $a-b\sqrt{d}$.
В нашем случае второй корень $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
Теперь воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями: $p = -(x_1+x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$.
$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, $p = -2$ и $q = -1$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 1 = 0$.

2) Упростим заданный корень:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
Полученный корень имеет вид $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, где $a$ и $b$ — различные рациональные числа, не являющиеся полными квадратами, и $\sqrt{ab}$ иррационально. Такое число не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Минимальный многочлен с рациональными коэффициентами для такого числа имеет степень 4.
Поэтому составить квадратное уравнение в данном случае невозможно. Однако мы можем составить биквадратное уравнение.
Пусть $x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.
Уединим радикал: $x^2 - 8 = 2\sqrt{15}$.
Снова возведем в квадрат: $(x^2 - 8)^2 = (2\sqrt{15})^2$.
$x^4 - 16x^2 + 64 = 4 \cdot 15 = 60$.
$x^4 - 16x^2 + 4 = 0$.
Это минимальный многочлен для данного числа, но он не является квадратным уравнением.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

3) Пусть $x_1 = \frac{5}{\sqrt{13 - 2\sqrt{2}}}$.
Найдем $x_1^2$:
$x_1^2 = \frac{25}{13 - 2\sqrt{2}} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{(13 - 2\sqrt{2})(13 + 2\sqrt{2})} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{169 - 4 \cdot 2} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{161} = \frac{325 + 50\sqrt{2}}{161}$.
Если бы $x_1$ было корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, то $x_1$ должно было бы иметь вид $a+b\sqrt{d}$ или $k\sqrt{d}$. В данном случае $x_1$ не упрощается до такого вида. Корень $x_1$ не принадлежит никакому квадратичному расширению поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$.
Следовательно, составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами для данного корня невозможно. Мы можем найти биквадратное уравнение.
Пусть $x = x_1$. Из $x^2 = \frac{325 + 50\sqrt{2}}{161}$ выразим радикал:
$161x^2 = 325 + 50\sqrt{2}$.
$161x^2 - 325 = 50\sqrt{2}$.
Возведем в квадрат: $(161x^2 - 325)^2 = (50\sqrt{2})^2 = 2500 \cdot 2 = 5000$.
Возводить в квадрат $161x^2-325$ приведет к громоздким вычислениям. Вернемся к более раннему шагу $13x^2 - 2\sqrt{2}x^2 = 25$, где $x$ еще не было заменено на $x_1$.
$13x^2 - 25 = 2\sqrt{2}x^2$.
Возведем в квадрат: $(13x^2 - 25)^2 = (2\sqrt{2}x^2)^2$.
$169x^4 - 650x^2 + 625 = 8x^4$.
$161x^4 - 650x^2 + 625 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

4) Упростим корень:
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Корень имеет вид $a+b\sqrt{d}$. Второй сопряженный корень $x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}) = 1$.
$x_1 \cdot x_2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Уравнение: $x^2 - (1)x - \frac{1}{2} = 0$.
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все уравнение на 2: $2x^2 - 2x - 1 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 2x - 1 = 0$.

5) Упростим корень:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$.
Как и в пункте 2), полученный корень имеет вид $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ и не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Найдем биквадратное уравнение.
Пусть $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$.
$2x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
Возведем в квадрат: $(2x)^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$.
$4x^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$2x^2 = 5 + \sqrt{21}$.
$2x^2 - 5 = \sqrt{21}$.
Возведем в квадрат еще раз: $(2x^2 - 5)^2 = 21$.
$4x^4 - 20x^2 + 25 = 21$.
$4x^4 - 20x^2 + 4 = 0$.
Разделим на 4: $x^4 - 5x^2 + 1 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

6) Рассмотрим корень $x_1 = \frac{3}{\sqrt{23 - 2\sqrt{3}}}$.
Как и в пункте 3), данный корень не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Найдем биквадратное уравнение, которому он удовлетворяет.
Пусть $x = \frac{3}{\sqrt{23 - 2\sqrt{3}}}$.
$x^2 = \frac{9}{23 - 2\sqrt{3}}$.
$x^2(23 - 2\sqrt{3}) = 9$.
$23x^2 - 9 = 2\sqrt{3}x^2$.
Возведем обе части в квадрат: $(23x^2 - 9)^2 = (2\sqrt{3}x^2)^2$.
$529x^4 - 2 \cdot 23 \cdot 9 x^2 + 81 = 4 \cdot 3 x^4$.
$529x^4 - 414x^2 + 81 = 12x^4$.
$517x^4 - 414x^2 + 81 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

8.21. Найдите пары чисел $(m; n)$, удовлетворяющие условиям:

1) $m + n = 4$ и $mn = 4$;

2) $m + n = -5$ и $mn = 6;

3) $m + n = 2$ и $mn = -48;

4) $m + n = -3$ и $mn = -18.

1) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = 4$ и $mn = 4$.

Составим и решим соответствующее квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $x=2$ кратности 2. Следовательно, $m = 2$ и $n = 2$.

Искомая пара чисел — $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$.

2) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = -5$ и $mn = 6$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - (-5)x + 6 = 0$, то есть $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Найдем корни уравнения по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$. Это числа $-2$ и $-3$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(-2; -3)$ и $(-3; -2)$.

Ответ: $(-2; -3)$, $(-3; -2)$.

3) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = 2$ и $mn = -48$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - 2x - 48 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a=1, b=-2, c=-48$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Корнями уравнения являются $8$ и $-6$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(8; -6)$ и $(-6; 8)$.

Ответ: $(8; -6)$, $(-6; 8)$.

4) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = -3$ и $mn = -18$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - (-3)x - 18 = 0$, то есть $x^2 + 3x - 18 = 0$.

Найдем корни уравнения по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение равно $-18$. Методом подбора находим числа $3$ и $-6$.

Действительно, $3 + (-6) = -3$ и $3 \cdot (-6) = -18$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(3; -6)$ и $(-6; 3)$.

Ответ: $(3; -6)$, $(-6; 3)$.

8.22. Не вычисляя корней уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2;$

2) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3;$

3) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2};$

4) $x_1^4 + x_2^4.$

Для решения задачи не будем вычислять корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$. Вместо этого воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами $a, b, c$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$

Произведение корней: $x_1 x_2 = c/a$

Для данного уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$ имеем коэффициенты: $a = 3$, $b = 8$, $c = -1$.

Тогда сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Эти два основных соотношения мы будем использовать для вычисления всех требуемых выражений.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся тождеством, которое получается из квадрата суммы двух чисел: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этого тождества $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим найденные ранее значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (-\frac{8}{3})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$\frac{64}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9} = 7\frac{7}{9}$.

Ответ: $7\frac{7}{9}$.

2) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3$

Преобразуем данное выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 = x_1x_2(x_2^2 + x_1^2)$.

Мы уже знаем значение произведения корней $x_1x_2 = -1/3$. Значение суммы квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ было найдено в предыдущем пункте и равно $70/9$.

Подставим эти значения в преобразованное выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{70}{9} = -\frac{70}{27} = -2\frac{16}{27}$.

Ответ: $-2\frac{16}{27}$.

3) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю, который равен $x_1^2 x_2^2 = (x_1x_2)^2$:

$\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} = \frac{x_1 \cdot x_1^2}{x_1^2 x_2^2} + \frac{x_2 \cdot x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2}$.

Теперь необходимо найти значение суммы кубов корней, $x_1^3 + x_2^3$. Используем формулу, вытекающую из куба суммы: $(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2) + x_2^3$. Отсюда:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (-\frac{8}{3})^3 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{8}{3}) = -\frac{512}{27} - \frac{8}{3}$.

Приведем к общему знаменателю 27:

$-\frac{512}{27} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} = -\frac{512}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{584}{27}$.

Теперь вычислим знаменатель исходной дроби: $(x_1x_2)^2 = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Наконец, найдем значение всего выражения:

$\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2} = \frac{-584/27}{1/9} = -\frac{584}{27} \cdot \frac{9}{1} = -\frac{584}{3} = -194\frac{2}{3}$.

Ответ: $-194\frac{2}{3}$.

4) $x_1^4 + x_2^4$

Для нахождения суммы четвертых степеней корней воспользуемся результатом для суммы квадратов, найденным в первом пункте. Возведем выражение $x_1^2 + x_2^2$ в квадрат:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + 2(x_1x_2)^2 + x_2^4$.

Выразим отсюда искомую сумму $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.

Из пункта 1 мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 70/9$. Также мы знаем, что $x_1x_2 = -1/3$.

Подставим эти значения в формулу:

$x_1^4 + x_2^4 = (\frac{70}{9})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{4900}{81} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4900}{81} - \frac{2}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4900}{81} - \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{4900}{81} - \frac{18}{81} = \frac{4882}{81} = 60\frac{22}{81}$.

Ответ: $60\frac{22}{81}$.

8.23. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 5x - 4 = 0$, найдите:

1) $ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} $;

2) $ x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 $;

3) $ \frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3} $;

4) $ x_1^5 + x_2^5 $.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем случае дано уравнение $2x^2 - 5x - 4 = 0$. Здесь $a=2, b=-5, c=-4$.Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(-4) = 25 + 32 = 57$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней:Сумма корней: $S_1 = x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.Произведение корней: $P = x_1 x_2 = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения.

1) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} $.

Далее выразим числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней:$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S_1^2 - 2P $.Подставим известные нам значения $S_1 = \frac{5}{2}$ и $P = -2$:$ x_1^2 + x_2^2 = (\frac{5}{2})^2 - 2(-2) = \frac{25}{4} + 4 = \frac{25+16}{4} = \frac{41}{4} $.

Теперь можем вычислить искомое выражение:$ \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{41/4}{(-2)^2} = \frac{41/4}{4} = \frac{41}{16} $.

Ответ: $ \frac{41}{16} $.

2) $x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:$ x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 = x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3) = P (x_1^3 + x_2^3) $.

Выразим сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3$ через $S_1$ и $P$:$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) = S_1(S_1^2 - 3P) $.Подставим известные значения:$ x_1^3 + x_2^3 = \frac{5}{2}((\frac{5}{2})^2 - 3(-2)) = \frac{5}{2}(\frac{25}{4} + 6) = \frac{5}{2}(\frac{25+24}{4}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{49}{4} = \frac{245}{8} $.

Теперь вычислим значение исходного выражения:$ P (x_1^3 + x_2^3) = -2 \cdot \frac{245}{8} = -\frac{245}{4} $.

Ответ: $ -\frac{245}{4} $.

3) $\frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3} = \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^3 x_2^3} = \frac{x_1^4 + x_2^4}{(x_1 x_2)^3} $.

Найдем значение числителя $x_1^4 + x_2^4$. Воспользуемся результатом из пункта 1 ($x_1^2 + x_2^2 = \frac{41}{4}$):$ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2 $.Подставим известные значения:$ x_1^4 + x_2^4 = (\frac{41}{4})^2 - 2(-2)^2 = \frac{1681}{16} - 2(4) = \frac{1681}{16} - 8 = \frac{1681-128}{16} = \frac{1553}{16} $.

Вычислим значение исходного выражения:$ \frac{x_1^4 + x_2^4}{(x_1 x_2)^3} = \frac{1553/16}{(-2)^3} = \frac{1553/16}{-8} = -\frac{1553}{128} $.

Ответ: $ -\frac{1553}{128} $.

4) $x_1^5 + x_2^5$

Для нахождения суммы пятых степеней корней $S_5 = x_1^5 + x_2^5$ можно использовать ранее найденные суммы степеней: $S_2 = x_1^2 + x_2^2 = \frac{41}{4}$ (из пункта 1) и $S_3 = x_1^3 + x_2^3 = \frac{245}{8}$ (из пункта 2).

Представим $x_1^5 + x_2^5$ следующим образом:$ x_1^5 + x_2^5 = (x_1^2 + x_2^2)(x_1^3 + x_2^3) - x_1^2x_2^3 - x_1^3x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)(x_1^3 + x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2) $.В терминах $S_k$ и $P$: $S_5 = S_2 \cdot S_3 - P^2 S_1$.

Подставим известные значения:$ x_1^5 + x_2^5 = (\frac{41}{4})(\frac{245}{8}) - (-2)^2(\frac{5}{2}) = \frac{41 \cdot 245}{32} - 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{10045}{32} - 10 = \frac{10045 - 320}{32} = \frac{9725}{32} $.

Ответ: $ \frac{9725}{32} $.

8.24. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$, найдите разность квадратов его корней.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 1 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Прежде всего, проверим, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Нам нужно найти разность квадратов корней, то есть величину $x_1^2 - x_2^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов:$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Для нахождения значений $(x_1 + x_2)$ и $(x_1 - x_2)$ воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$ (где $a=2, b=-5, c=1$):Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем разность корней $(x_1 - x_2)$. Возведем это выражение в квадрат и выразим через сумму и произведение корней:$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:$(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25}{4} - \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$.

Отсюда, разность корней $x_1 - x_2$ равна:$x_1 - x_2 = \pm\sqrt{\frac{17}{4}} = \pm\frac{\sqrt{17}}{2}$.Знак зависит от того, какой из корней ($x_1$ или $x_2$) считать большим.

Теперь мы можем вычислить искомую разность квадратов корней:$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = \frac{5}{2} \cdot \left(\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\right) = \pm\frac{5\sqrt{17}}{4}$.

Таким образом, в зависимости от порядка вычитания, разность квадратов корней может быть как положительной, так и отрицательной.

Ответ: $\pm\frac{5\sqrt{17}}{4}$.

8.25. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются значения выражений:

1) $x_1 - 2$ и $x_2 - 2$;

2) $2x_1 + 3$ и $2x_2 + 3$;

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$;

4) $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Для заданного квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, по теореме Виета, мы можем найти сумму и произведение его корней:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-3}{2}$

Чтобы составить новое квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$, мы будем использовать обратную теорему Виета. Уравнение будет иметь вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 y_2) = 0$. Для каждого случая мы найдем сумму $S = y_1 + y_2$ и произведение $P = y_1 y_2$ новых корней, а затем подставим их в эту формулу.

1) $x_1 - 2$ и $x_2 - 2$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4 = \frac{7}{2} - 4 = \frac{7 - 8}{2} = -\frac{1}{2}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = -\frac{3}{2} - 2(\frac{7}{2}) + 4 = -\frac{3}{2} - 7 + 4 = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{9}{2}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - (-\frac{1}{2})y + (-\frac{9}{2}) = 0$

$y^2 + \frac{1}{2}y - \frac{9}{2} = 0$

Умножим обе части на 2, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$2y^2 + y - 9 = 0$.

Ответ: $2x^2 + x - 9 = 0$.

2) $2x_1 + 3$ и $2x_2 + 3$

Пусть новые корни $y_1 = 2x_1 + 3$ и $y_2 = 2x_2 + 3$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (2x_1 + 3) + (2x_2 + 3) = 2(x_1 + x_2) + 6 = 2(\frac{7}{2}) + 6 = 7 + 6 = 13$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (2x_1 + 3)(2x_2 + 3) = 4x_1x_2 + 6x_1 + 6x_2 + 9 = 4(x_1x_2) + 6(x_1 + x_2) + 9 = 4(-\frac{3}{2}) + 6(\frac{7}{2}) + 9 = -6 + 21 + 9 = 24$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - 13y + 24 = 0$.

Ответ: $x^2 - 13x + 24 = 0$.

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{7/2}{-3/2} = -\frac{7}{3}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{-3/2} = -\frac{2}{3}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - (-\frac{7}{3})y + (-\frac{2}{3}) = 0$

$y^2 + \frac{7}{3}y - \frac{2}{3} = 0$

Умножим обе части на 3, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$3y^2 + 7y - 2 = 0$.

Ответ: $3x^2 + 7x - 2 = 0$.

4) $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $y_2 = x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = (x_1 + x_2) + \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{7}{2} + \frac{7/2}{-3/2} = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21 - 14}{6} = \frac{7}{6}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1x_2 + x_1\frac{1}{x_1} + x_2\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1x_2} = x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2} = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{-3/2} = -\frac{3}{2} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{-9 + 12 - 4}{6} = -\frac{1}{6}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - \frac{7}{6}y - \frac{1}{6} = 0$

Умножим обе части на 6, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$6y^2 - 7y - 1 = 0$.

Ответ: $6x^2 - 7x - 1 = 0$.