Номер 8.14, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.14. Один из корней уравнения $9x^2 - cx + 12 = 0$ в 3 раза больше другого. Найдите $c$.

Дано квадратное уравнение $9x^2 - cx + 12 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один из корней в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение как $x_2 = 3x_1$.

Для нахождения неизвестного коэффициента $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + k = 0$ (где $k$ — свободный член), теорема Виета устанавливает следующие связи между корнями ($x_1, x_2$) и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{a}$

В нашем уравнении $9x^2 - cx + 12 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 9$, $b = -c$, $k = 12$.

Применим формулы Виета к нашему случаю:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-c}{9} = \frac{c}{9}$

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Мы получили систему из трех уравнений для нахождения $x_1$, $x_2$ и $c$:

$x_2 = 3x_1$
$x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{3}$

Подставим первое уравнение ($x_2 = 3x_1$) в третье уравнение системы, чтобы найти корни:

$x_1 \cdot (3x_1) = \frac{4}{3}$

$3x_1^2 = \frac{4}{3}$

$x_1^2 = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Отсюда следует, что $x_1$ может принимать два значения: $x_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ или $x_1 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$.

Рассмотрим оба возможных случая. Если $x_1 = \frac{2}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$. Тогда из уравнения для суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$ получаем $\frac{2}{3} + 2 = \frac{c}{9}$, что дает $\frac{8}{3} = \frac{c}{9}$, и отсюда $c = 24$.

Если же $x_1 = -\frac{2}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2$. Тогда из уравнения для суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{c}{9}$ получаем $-\frac{2}{3} - 2 = \frac{c}{9}$, что дает $-\frac{8}{3} = \frac{c}{9}$, и отсюда $c = -24$.

Таким образом, существуют два возможных значения для параметра $c$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $c=24$ или $c=-24$.