Номер 8.9, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами так, чтобы один из его корней был равен:

1) $\sqrt{7}$;

2) $-\sqrt{7}$;

3) $1 + \sqrt{7}$;

4) $2 - \sqrt{3}$.

1) Если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень вида $p + \sqrt{q}$, то оно также должно иметь сопряженный корень $p - \sqrt{q}$. В данном случае дан корень $x_1 = \sqrt{7}$, который можно записать как $0 + \sqrt{7}$. Значит, второй корень уравнения $x_2 = 0 - \sqrt{7} = -\sqrt{7}$. По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$ коэффициенты будут рациональными, если сумма и произведение корней рациональны. Найдем сумму и произведение корней:
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -7$.
Искомое уравнение имеет вид $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляя найденные значения, получаем $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

2) Дан корень $x_1 = -\sqrt{7}$. Его сопряженным корнем является $x_2 = \sqrt{7}$. Это та же пара корней, что и в предыдущем пункте.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = -7$.
Квадратное уравнение составляется по формуле $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляя значения, получаем $x^2 - 0 \cdot x - 7 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

3) Дан корень $x_1 = 1 + \sqrt{7}$. Сопряженным ему будет корень $x_2 = 1 - \sqrt{7}$. Найдем их сумму и произведение.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{7}) + (1 - \sqrt{7}) = 2$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 1^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 - 7 = -6$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляем найденные значения: $x^2 - 2x + (-6) = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

4) Дан корень $x_1 = 2 - \sqrt{3}$. Сопряженным ему будет корень $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. Найдем их сумму и произведение.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляем найденные значения: $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.