Номер 8.15, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.15. Один из корней уравнения $x^2 - 4ax + 8 = 0$ на 2 больше другого.

Найдите $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - 4ax + 8 = 0$.

По условию задачи, один корень на 2 больше другого. Без ограничения общности, пусть $x_2 = x_1 + 2$, что равносильно $x_2 - x_1 = 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p = -4a$ и $q = 8$. Таким образом, по теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4a) = 4a$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$.

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$, $a$):

$ \begin{cases} x_2 - x_1 = 2 \\ x_1 + x_2 = 4a \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} $

Рассмотрим первые два уравнения системы. Сложив их, получим:

$(x_2 - x_1) + (x_1 + x_2) = 2 + 4a$

$2x_2 = 4a + 2$

$x_2 = 2a + 1$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(x_1 + x_2) - (x_2 - x_1) = 4a - 2$

$2x_1 = 4a - 2$

$x_1 = 2a - 1$

Подставим полученные выражения для $x_1$ и $x_2$ в третье уравнение системы ($x_1 \cdot x_2 = 8$):

$(2a - 1)(2a + 1) = 8$

Левая часть уравнения является разностью квадратов:

$(2a)^2 - 1^2 = 8$

$4a^2 - 1 = 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$4a^2 = 9$

$a^2 = \frac{9}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $a$:

$a = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$a = \pm\frac{3}{2}$

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16a^2 - 32$

Условие $D \ge 0$ эквивалентно $16a^2 - 32 \ge 0$, или $a^2 \ge 2$.

Проверим наши решения:

Если $a = \frac{3}{2}$, то $a^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Так как $2.25 > 2$, условие выполняется.

Если $a = -\frac{3}{2}$, то $a^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Так как $2.25 > 2$, условие также выполняется.

Оба значения параметра $a$ подходят.

Ответ: $a = \frac{3}{2}; a = -\frac{3}{2}$.