Номер 8.19, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.19. Один из корней уравнения $2ax^2 - 6x + 9 = 0$ в 5 раз больше другого. Найдите $a$.

Пусть дано квадратное уравнение $2ax^2 - 6x + 9 = 0$. Чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Отсюда следует, что $2a \neq 0$, то есть $a \neq 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, один корень в 5 раз больше другого. Запишем это как $x_2 = 5x_1$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$
В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 2a$, $B = -6$, $C = 9$.
Составим систему уравнений на основе теоремы Виета:
1) $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2a} = \frac{6}{2a} = \frac{3}{a}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{2a}$
Теперь подставим в эту систему соотношение между корнями $x_2 = 5x_1$:
1) $x_1 + 5x_1 = \frac{3}{a} \implies 6x_1 = \frac{3}{a} \implies x_1 = \frac{3}{6a} = \frac{1}{2a}$
2) $x_1 \cdot (5x_1) = \frac{9}{2a} \implies 5x_1^2 = \frac{9}{2a}$
Подставим выражение для $x_1$ из первого уравнения во второе:
$5 \left(\frac{1}{2a}\right)^2 = \frac{9}{2a}$
$5 \cdot \frac{1}{4a^2} = \frac{9}{2a}$
$\frac{5}{4a^2} = \frac{9}{2a}$
Поскольку мы установили, что $a \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $4a^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$5 = \frac{9}{2a} \cdot 4a^2$
$5 = 9 \cdot 2a$
$5 = 18a$
Отсюда находим $a$:
$a = \frac{5}{18}$
Для того чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = B^2 - 4AC = (-6)^2 - 4(2a)(9) = 36 - 72a$
$36 - 72a \ge 0 \implies 36 \ge 72a \implies a \le \frac{36}{72} \implies a \le \frac{1}{2}$
Найденное значение $a = \frac{5}{18}$ удовлетворяет этому условию, так как $\frac{5}{18} \le \frac{9}{18}$.
Ответ: $a = \frac{5}{18}$.