Номер 8.21, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.21. Найдите пары чисел $(m; n)$, удовлетворяющие условиям:

1) $m + n = 4$ и $mn = 4$;

2) $m + n = -5$ и $mn = 6;

3) $m + n = 2$ и $mn = -48;

4) $m + n = -3$ и $mn = -18.

1) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = 4$ и $mn = 4$.

Составим и решим соответствующее квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $x=2$ кратности 2. Следовательно, $m = 2$ и $n = 2$.

Искомая пара чисел — $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$.

2) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = -5$ и $mn = 6$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - (-5)x + 6 = 0$, то есть $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Найдем корни уравнения по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$. Это числа $-2$ и $-3$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(-2; -3)$ и $(-3; -2)$.

Ответ: $(-2; -3)$, $(-3; -2)$.

3) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = 2$ и $mn = -48$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - 2x - 48 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a=1, b=-2, c=-48$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Корнями уравнения являются $8$ и $-6$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(8; -6)$ и $(-6; 8)$.

Ответ: $(8; -6)$, $(-6; 8)$.

4) Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $m$ и $n$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (m+n)x + mn = 0$.

По условию: $m + n = -3$ и $mn = -18$.

Составим и решим уравнение: $x^2 - (-3)x - 18 = 0$, то есть $x^2 + 3x - 18 = 0$.

Найдем корни уравнения по теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение равно $-18$. Методом подбора находим числа $3$ и $-6$.

Действительно, $3 + (-6) = -3$ и $3 \cdot (-6) = -18$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, искомые пары чисел: $(3; -6)$ и $(-6; 3)$.

Ответ: $(3; -6)$, $(-6; 3)$.