Номер 8.18, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.18. Один из корней уравнения $px^2 - 5x + 8 = 0$ в 4 раза больше другого. Найдите p.

Пусть дано квадратное уравнение $px^2 - 5x + 8 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. Согласно условию задачи, один корень в 4 раза больше другого. Без ограничения общности, пусть $x_2 = 4x_1$. Чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $p \neq 0$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем случае коэффициенты равны $a = p$, $b = -5$, $c = 8$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:
1) $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{p} = \frac{5}{p}$
2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{p}$
Теперь у нас есть система уравнений. Подставим в нее известное нам соотношение между корнями $x_2 = 4x_1$:
1) $x_1 + 4x_1 = \frac{5}{p} \implies 5x_1 = \frac{5}{p}$
2) $x_1 \cdot (4x_1) = \frac{8}{p} \implies 4x_1^2 = \frac{8}{p}$
Из первого уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = \frac{5}{5p} = \frac{1}{p}$
Теперь подставим это выражение для $x_1$ во второе уравнение:
$4 \cdot (\frac{1}{p})^2 = \frac{8}{p}$
$4 \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{8}{p}$
$\frac{4}{p^2} = \frac{8}{p}$
Поскольку мы уже установили, что $p \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $p^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$p^2 \cdot \frac{4}{p^2} = p^2 \cdot \frac{8}{p}$
$4 = 8p$
Отсюда находим значение $p$:
$p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Для проверки убедимся, что при $p = 1/2$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot 8 = 25 - 2 \cdot 8 = 25 - 16 = 9$
Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию.
Ответ: $p = \frac{1}{2}$.