Номер 8.26, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.26. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются значения выражений:

1) $x_1 x_2^2$ и $x_2 x_1^2$;

2) $\frac{1}{x_1^2}$ и $\frac{1}{x_2^2}$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + 1$ и $\frac{x_2}{x_1} + 1$;

4) $\frac{2}{x_1^3} - 1$ и $\frac{2}{x_2^3} - 1$.

Чтобы составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются заданные выражения, мы воспользуемся теоремой Виета. Для нового уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ или приведенного вида $x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2 = 0$, где $y_1$ и $y_2$ — его корни, нам необходимо вычислить их сумму $S = y_1+y_2$ и произведение $P = y_1y_2$.

Исходное уравнение: $4x^2 - 6x - 1 = 0$.
По теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(\frac{-6}{4}) = \frac{3}{2}$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-1}{4}$.

Эти значения мы будем использовать для нахождения сумм и произведений новых корней.

1) $x_1 x_2^2$ и $x_2 x_1^2$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 x_2^2$ и $y_2 = x_2 x_1^2$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = x_1 x_2^2 + x_2 x_1^2 = x_1 x_2 (x_2 + x_1)$.
Подставим известные значения $x_1+x_2$ и $x_1x_2$:
$S = (-\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2}) = -\frac{3}{8}$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (x_1 x_2^2) \cdot (x_2 x_1^2) = x_1^3 x_2^3 = (x_1 x_2)^3$.
Подставим известное значение $x_1x_2$:
$P = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$.

Новое квадратное уравнение имеет вид $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - (-\frac{3}{8})x + (-\frac{1}{64}) = 0$
$x^2 + \frac{3}{8}x - \frac{1}{64} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим уравнение на 64:
$64x^2 + 24x - 1 = 0$.
Ответ: $64x^2 + 24x - 1 = 0$.

2) $\frac{1}{x_1^2}$ и $\frac{1}{x_2^2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1^2}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2^2}$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{1}{4})}{(-\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{9}{4} + \frac{2}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{11}{4} \cdot 16 = 44$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1^2} \cdot \frac{1}{x_2^2} = \frac{1}{(x_1x_2)^2}$.
Подставим известное значение:
$P = \frac{1}{(-\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - 44x + 16 = 0$.
Ответ: $x^2 - 44x + 16 = 0$.

3) $\frac{x_1}{x_2} + 1$ и $\frac{x_2}{x_1} + 1$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{x_1}{x_2} + 1$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1} + 1$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = (\frac{x_1}{x_2} + 1) + (\frac{x_2}{x_1} + 1) = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + 2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + 2$.
Выражение $x_1^2+x_2^2$ было вычислено в предыдущем пункте: $(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{11}{4}$.
$S = \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{4}} + 2 = -11 + 2 = -9$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (\frac{x_1}{x_2} + 1)(\frac{x_2}{x_1} + 1) = \frac{x_1}{x_2}\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + 1 = 1 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + 1 = 2 + \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{4}} = 2 - 11 = -9$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - (-9)x + (-9) = 0$
$x^2 + 9x - 9 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x - 9 = 0$.

4) $\frac{2}{x_1^3} - 1$ и $\frac{2}{x_2^3} - 1$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{2}{x_1^3} - 1$ и $y_2 = \frac{2}{x_2^3} - 1$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = (\frac{2}{x_1^3} - 1) + (\frac{2}{x_2^3} - 1) = 2(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}) - 2 = 2\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^3} - 2$.
Найдем $x_1^3+x_2^3$ через известные величины:
$x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$.
$x_1^3+x_2^3 = \frac{3}{2}((\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{1}{4})) = \frac{3}{2}(\frac{9}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{3}{2}(\frac{12}{4}) = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$.
Теперь найдем сумму $S$:
$S = 2 \cdot \frac{\frac{9}{2}}{(-\frac{1}{4})^3} - 2 = 2 \cdot \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{1}{64}} - 2 = 2 \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-64)) - 2 = 2 \cdot (-288) - 2 = -576 - 2 = -578$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (\frac{2}{x_1^3} - 1)(\frac{2}{x_2^3} - 1) = \frac{4}{x_1^3x_2^3} - 2(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}) + 1 = \frac{4}{(x_1x_2)^3} - 2\frac{x_1^3+x_2^3}{(x_1x_2)^3} + 1$.
Подставим вычисленные ранее значения:
$P = \frac{4}{(-\frac{1}{64})} - 2(-288) + 1 = -256 + 576 + 1 = 320 + 1 = 321$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - (-578)x + 321 = 0$
$x^2 + 578x + 321 = 0$.
Ответ: $x^2 + 578x + 321 = 0$.