Номер 8.31, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.31. При каких значениях a значение суммы корней уравнения $x^2 - 2a(x - 1) - 1 = 0$ равно значению суммы квадратов его корней?

Для решения задачи сначала приведем данное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$.

Исходное уравнение:

$x^2 - 2a(x - 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2ax + 2a - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$, где коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = -2a$

$C = 2a - 1$

Квадратное уравнение имеет корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 1) = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2$

Так как $(a-1)^2$ всегда больше или равен нулю для любого действительного значения $a$, то и $D = 4(a-1)^2 \ge 0$ при любом $a$. Следовательно, уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Согласно теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{-2a}{1} = 2a$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = \frac{2a - 1}{1} = 2a - 1$

Теперь выразим сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$) через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения, полученные по теореме Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (2a)^2 - 2(2a - 1) = 4a^2 - 4a + 2$

По условию задачи, значение суммы корней равно значению суммы квадратов его корней:

$x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$

Подставим найденные выражения в это равенство:

$2a = 4a^2 - 4a + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 4a - 2a + 2 = 0$

$4a^2 - 6a + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_a$:

$D_a = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни $a_1$ и $a_2$:

$a_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, условие задачи выполняется при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = 1$ или $a = \frac{1}{2}$.