Номер 8.33, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.33. При каком значении параметра $m$ значение суммы квадратов корней уравнения $x^2 + (m - 1)x + m^2 - 1.5 = 0$ наибольшее?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + (m - 1)x + m^2 - 1,5 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

$D = (m-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 1,5) = m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + 6 = -3m^2 - 2m + 7$.

Решим неравенство:

$-3m^2 - 2m + 7 \ge 0$

$3m^2 + 2m - 7 \le 0$

Найдем корни уравнения $3m^2 + 2m - 7 = 0$:

$m_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 84}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Поскольку ветви параболы $y = 3m^2 + 2m - 7$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $m$, лежащих между корнями:

$\frac{-1 - \sqrt{22}}{3} \le m \le \frac{-1 + \sqrt{22}}{3}$.

Это область допустимых значений параметра $m$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения. Мы ищем наибольшее значение суммы их квадратов $S = x_1^2 + x_2^2$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(m-1) = 1-m$

$x_1 x_2 = m^2 - 1,5$

Выразим сумму квадратов корней через $m$:

$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (1-m)^2 - 2(m^2 - 1,5)$

$S(m) = (1 - 2m + m^2) - 2m^2 + 3 = -m^2 - 2m + 4$.

Мы получили квадратичную функцию $S(m) = -m^2 - 2m + 4$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $m^2$ отрицателен. Наибольшее значение эта функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $m_0$ находится по формуле $m_0 = -\frac{B}{2A}$, где $A = -1$ и $B = -2$.

$m_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.

Проверим, принадлежит ли найденное значение $m = -1$ области допустимых значений $[\frac{-1 - \sqrt{22}}{3}, \frac{-1 + \sqrt{22}}{3}]$.

Так как $4 < \sqrt{22} < 5$, то $\frac{-1-5}{3} < \frac{-1 - \sqrt{22}}{3} < \frac{-1-4}{3}$, то есть $-2 < \frac{-1 - \sqrt{22}}{3} < -\frac{5}{3}$.

И $\frac{-1+4}{3} < \frac{-1 + \sqrt{22}}{3} < \frac{-1+5}{3}$, то есть $1 < \frac{-1 + \sqrt{22}}{3} < \frac{4}{3}$.

Значение $m = -1$ лежит в интервале $(\frac{-1 - \sqrt{22}}{3}, \frac{-1 + \sqrt{22}}{3})$, а значит, является допустимым.

Таким образом, при $m = -1$ значение суммы квадратов корней уравнения будет наибольшим.

Ответ: при $m = -1$.