Номер 8.39, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.39. При каких значениях параметра p уравнения $x^2 + (p^2 + 5p + 6)x = 0$ и $x^2 + 2(p + 3) x + (p^2 - p - 12) = 0$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + (p^2 + 5p + 6)x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + p^2 + 5p + 6) = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p^2 + 5p + 6)$.
Множество корней первого уравнения: $S_1 = \{0, -(p^2 + 5p + 6)\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + 2(p + 3)x + (p^2 - p - 12) = 0$.
Пусть его корни $x_3$ и $x_4$. Для того чтобы уравнения были равносильны, множества их корней должны быть равны, $S_1 = S_2$.

Если два приведенных квадратных уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) имеют одинаковые множества корней, то их суммы корней и произведения корней должны быть соответственно равны. Это следует из теоремы Виета.

Сумма и произведение корней для первого уравнения:
Сумма: $x_1 + x_2 = 0 + (-(p^2 + 5p + 6)) = -(p^2 + 5p + 6)$.
Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot (-(p^2 + 5p + 6)) = 0$.

Сумма и произведение корней для второго уравнения (по теореме Виета):
Сумма: $x_3 + x_4 = -2(p+3)$.
Произведение: $x_3 \cdot x_4 = p^2 - p - 12$.

Приравнивая суммы и произведения корней, получаем систему уравнений относительно параметра $p$:
$ \begin{cases} -(p^2 + 5p + 6) = -2(p+3) \\ 0 = p^2 - p - 12 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$p^2 - p - 12 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $p_1 = 4$ и $p_2 = -3$.

Теперь подставим найденные значения $p$ в первое уравнение системы, чтобы проверить, удовлетворяют ли они ему.

1. Проверка для $p = 4$:
$-((4)^2 + 5 \cdot 4 + 6) = -2(4+3)$
$-(16 + 20 + 6) = -2(7)$
$-42 = -14$
Равенство неверное, следовательно, $p = 4$ не является решением.

2. Проверка для $p = -3$:
$-((-3)^2 + 5 \cdot (-3) + 6) = -2(-3+3)$
$-(9 - 15 + 6) = -2(0)$
$-0 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, $p = -3$ является решением.

Единственное значение параметра, при котором уравнения равносильны, это $p = -3$.

Ответ: $p = -3$.