Номер 8.42, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.42. Известно, что $x_1$ и $x_2$ корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

1) $x_1 + 3$ и $x_2 + 3$;

2) $4x_1$ и $4x_2$;

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Новое квадратное уравнение, корнями которого являются $y_1$ и $y_2$, можно составить, используя теорему, обратную теореме Виета. Если мы найдем сумму $y_1 + y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$ новых корней, то уравнение будет иметь вид:

$y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$

1) $x_1 + 3$ и $x_2 + 3$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 + 3$ и $y_2 = x_2 + 3$. Найдем их сумму и произведение, выразив их через коэффициенты $p$ и $q$.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$

Подставляя $x_1 + x_2 = -p$, получаем:

$y_1 + y_2 = -p + 6$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$

Подставляя $x_1x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$, получаем:

$y_1 \cdot y_2 = q + 3(-p) + 9 = q - 3p + 9$

Теперь подставим найденные сумму и произведение в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (-p + 6)y + (q - 3p + 9) = 0$

$y^2 + (p - 6)y + q - 3p + 9 = 0$

Ответ: $y^2 + (p - 6)y + q - 3p + 9 = 0$.

2) $4x_1$ и $4x_2$

Пусть новые корни $y_1 = 4x_1$ и $y_2 = 4x_2$. Найдем их сумму и произведение.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = 4x_1 + 4x_2 = 4(x_1 + x_2) = 4(-p) = -4p$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (4x_1)(4x_2) = 16x_1x_2 = 16q$

Подставим найденные значения в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (-4p)y + 16q = 0$

$y^2 + 4py + 16q = 0$

Ответ: $y^2 + 4py + 16q = 0$.

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$. Данное преобразование возможно только если исходные корни не равны нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это означает, что их произведение $x_1x_2 = q \neq 0$.

Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{-p}{q}$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{q}$

Подставим найденные значения в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (\frac{-p}{q})y + \frac{1}{q} = 0$

$y^2 + \frac{p}{q}y + \frac{1}{q} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на $q$ (мы можем это сделать, так как $q \neq 0$):

$q(y^2 + \frac{p}{q}y + \frac{1}{q}) = q \cdot 0$

$qy^2 + py + 1 = 0$

Ответ: $qy^2 + py + 1 = 0$.