Номер 8.48, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.48. Выделите квадрат двучлена:

1) $x^2 + 6x + 11;$

2) $x^2 - 8x + 15;$

3) $x^2 - 3x + 12;$

4) $x^2 - 5x - 7.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 + 6x + 11$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Член $2ab$ соответствует $6x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 6x$, откуда находим $b=3$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Представим свободный член 11 в виде суммы $9+2$.

Получим: $x^2 + 6x + 11 = x^2 + 6x + 9 + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 2$.

Теперь мы можем свернуть первые три слагаемых в квадрат суммы: $(x+3)^2 + 2$.

Ответ: $(x+3)^2+2$.

2) Для выражения $x^2 - 8x + 15$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Член $2ab$ соответствует $8x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 8x$, откуда $b=4$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Представим свободный член 15 в виде разности $16-1$.

Получим: $x^2 - 8x + 15 = x^2 - 8x + 16 - 1 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 1$.

Сворачиваем первые три слагаемых в квадрат разности: $(x-4)^2 - 1$.

Ответ: $(x-4)^2-1$.

3) В выражении $x^2 - 3x + 12$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a = x$. Член $2ab$ соответствует $3x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.

Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Чтобы не изменить выражение, добавим и вычтем это число.

$x^2 - 3x + 12 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 12 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - \frac{9}{4} + 12$.

Сворачиваем скобку в квадрат разности и вычисляем оставшееся выражение: $(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{39}{4}$.

Ответ: $(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{39}{4}$.

4) В выражении $x^2 - 5x - 7$ также используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a = x$. Член $2ab$ соответствует $5x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 5x$, откуда $b = \frac{5}{2}$.

Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число.

$x^2 - 5x - 7 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 7 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + (\frac{5}{2})^2) - \frac{25}{4} - 7$.

Сворачиваем скобку в квадрат разности и вычисляем оставшееся выражение: $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{28}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{53}{4}$.

Ответ: $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{53}{4}$.