Номер 8.44, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.44. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{2\sqrt{5}}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$;

3) $\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1 + x}}$;

4) $\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}$;

5) $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$;

6) $\frac{x}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - 2x}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{2\sqrt{5}}$, домножим ее числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$

2) Знаменатель дроби $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ представляет собой разность корней. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7} + \sqrt{2}$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

3) Для дроби $\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1+x}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $2 + \sqrt{1+x}$. Домножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1+x}} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{(2 - \sqrt{1+x})(2 + \sqrt{1+x})} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{2^2 - (\sqrt{1+x})^2} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{4 - (1+x)} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{3 - x}$

Разложим числитель на множители $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и вынесем в знаменателе знак минус за скобки, чтобы сократить дробь:

$\frac{(x-3)(x+3)(2 + \sqrt{1+x})}{-(x - 3)} = -(x+3)(2 + \sqrt{1+x})$

Ответ: $-(x+3)(2 + \sqrt{1+x})$

4) В дроби $\frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{x+2} + 2$:

$\frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2})^2 - 2^2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x+2 - 4} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x - 2}$

Сократив дробь на общий множитель $(x-2)$, получим:

$\sqrt{x+2} + 2$

Ответ: $\sqrt{x+2} + 2$

5) Для дроби $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $3 + 2\sqrt{2}$. Домножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$

6) Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$:

$\frac{x}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2}$

Упростим выражение в знаменателе:

$\frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(1-x) - (1-2x)} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{1-x-1+2x} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{x}$

Сократив дробь на $x$, получаем:

$\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$

Ответ: $\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$