Номер 8.45, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.45. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{32} - \sqrt{7};$

2) $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{18} + \sqrt{28} + 2;$

3) $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} - \frac{3}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{44} + 3\sqrt{12};$

4) $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{8} - \sqrt{28} - 3.$

1) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{32} - \sqrt{7}$.

Сначала избавимся от иррациональности в знаменателях дробей, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{2} + \sqrt{7})}{(2\sqrt{2} - \sqrt{7})(2\sqrt{2} + \sqrt{7})} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{7}}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{7}}{8 - 7} = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} + 3$.

Далее, упростим корень: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + \sqrt{7}) + (3\sqrt{2} + 3) - 4\sqrt{2} - \sqrt{7}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + 3 = \sqrt{2} + 0 + 3 = \sqrt{2} + 3$.

Ответ: $\sqrt{2} + 3$.

2) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{18} + \sqrt{28} + 2$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{2} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{2} + \sqrt{7})(2\sqrt{2} - \sqrt{7})} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}{8 - 7} = 2\sqrt{2} - \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} + 3$.

Упростим корни: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} - \sqrt{7}) - (3\sqrt{2} + 3) + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} + 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{2} - \sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 3 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} + 2 = (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (-\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) + (-3 + 2) = 2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 1$.

3) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} - \frac{3}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{44} + 3\sqrt{12}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{3} + \sqrt{11})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{11})(2\sqrt{3} + \sqrt{11})} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{11}}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{11}}{12 - 11} = 2\sqrt{3} + \sqrt{11}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{2 - \sqrt{3}} = \frac{3(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4 - 3} = 6 + 3\sqrt{3}$.

Упростим корни: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$ и $3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{3} + \sqrt{11}) - (6 + 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{11} + 6\sqrt{3}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{3} + \sqrt{11} - 6 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{11} + 6\sqrt{3} = (2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) + (\sqrt{11} - 2\sqrt{11}) - 6 = 5\sqrt{3} - \sqrt{11} - 6$.

Ответ: $5\sqrt{3} - \sqrt{11} - 6$.

4) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{8} - \sqrt{28} - 3$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях.

Первая дробь (как в пункте 1): $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} + 1} = \frac{3(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{3\sqrt{2} - 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} - 3$.

Упростим корни: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + \sqrt{7}) - (3\sqrt{2} - 3) + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{7} - 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 3\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{7} - 3 = (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) + (3 - 3) = \sqrt{2} - \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{7}$.