Номер 8.40, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.40. При каких значениях параметра p уравнения $x^2 + (p^2 - p - 6)x = 0$ и $x^2 + 2(p - 3)x + (p^2 - 7p + 12) = 0$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их действительных корней совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + (p^2 - p - 6)x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + p^2 - p - 6) = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p^2 - p - 6)$.

Разложим на множители выражение $p^2 - p - 6$. Корни уравнения $p^2 - p - 6 = 0$ равны $p = 3$ и $p = -2$. Следовательно, $p^2 - p - 6 = (p-3)(p+2)$.

Таким образом, корни первого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p-3)(p+2)$.

Множество корней первого уравнения $S_1 = \{0, -(p-3)(p+2)\}$. Заметим, что при $p=3$ или $p=-2$ уравнение имеет один корень $x=0$. В остальных случаях уравнение имеет два различных корня.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + 2(p - 3)x + (p^2 - 7p + 12) = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Разложим на множители свободный член $p^2 - 7p + 12$. Корни уравнения $p^2 - 7p + 12 = 0$ равны $p=3$ и $p=4$. Следовательно, $p^2 - 7p + 12 = (p-3)(p-4)$.

Уравнение принимает вид: $x^2 + 2(p - 3)x + (p-3)(p-4) = 0$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (2(p-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p-3)(p-4) = 4(p-3)^2 - 4(p-3)(p-4) = 4(p-3)[(p-3)-(p-4)] = 4(p-3)(p-3-p+4) = 4(p-3)$.

Уравнение имеет действительные корни при условии $D \ge 0$, то есть $4(p-3) \ge 0$, что равносильно $p \ge 3$.

Если $p < 3$, второе уравнение не имеет действительных корней, и множество его решений пусто ($S_2 = \emptyset$). В то же время первое уравнение всегда имеет как минимум один корень $x=0$. Следовательно, при $p < 3$ уравнения не равносильны.

Рассмотрим значения $p \ge 3$. Корни второго уравнения находятся по формуле: $x = \frac{-2(p-3) \pm \sqrt{4(p-3)}}{2} = -(p-3) \pm \sqrt{p-3}$.

Множество корней второго уравнения $S_2 = \{-(p-3) - \sqrt{p-3}, -(p-3) + \sqrt{p-3}\}$.

Для равносильности уравнений необходимо, чтобы множества их корней совпадали: $S_1 = S_2$.

Проанализируем два случая для $p \ge 3$.

Случай 1: $p=3$.

Для первого уравнения: $S_1 = \{0, -(3-3)(3+2)\} = \{0\}$. Уравнение имеет один корень.

Для второго уравнения: $S_2 = \{-(3-3) \pm \sqrt{3-3}\} = \{0\}$. Уравнение также имеет один корень.

Поскольку $S_1 = S_2 = \{0\}$, при $p=3$ уравнения равносильны.

Случай 2: $p>3$.

В этом случае $p-3>0$ и $p+2>0$, поэтому $-(p-3)(p+2) \neq 0$. Первое уравнение имеет два различных корня: $S_1 = \{0, -(p-3)(p+2)\}$.

Дискриминант второго уравнения $D=4(p-3)>0$, поэтому оно также имеет два различных корня: $S_2 = \{-(p-3) - \sqrt{p-3}, -(p-3) + \sqrt{p-3}\}$.

Для равенства множеств $S_1=S_2$, один из корней второго уравнения должен быть равен нулю, так как $0 \in S_1$.

Произведение корней второго уравнения равно свободному члену $(p-3)(p-4)$. Если один из корней равен нулю, то их произведение равно нулю. Отсюда $(p-3)(p-4) = 0$.

Так как мы рассматриваем случай $p>3$, единственным возможным значением является $p=4$.

Проверим, равносильны ли уравнения при $p=4$.

При $p=4$ множество корней первого уравнения: $S_1 = \{0, -(4-3)(4+2)\} = \{0, -6\}$.

При $p=4$ множество корней второго уравнения: $S_2 = \{-(4-3) \pm \sqrt{4-3}\} = \{-1 \pm 1\}$. Корни равны $x=-1+1=0$ и $x=-1-1=-2$. Таким образом, $S_2 = \{0, -2\}$.

Множества $S_1 = \{0, -6\}$ и $S_2 = \{0, -2\}$ не совпадают. Следовательно, $p=4$ не является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $p$, при котором данные уравнения равносильны, — это $p=3$.

Ответ: $p=3$.