Номер 8.37, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.37. Известно, что корни уравнения $x^2 - 5x + a = 0$ на 1 меньше корней уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$. Найдите $a$ и корни каждого из уравнений.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни первого уравнения $x^2 - 5x + a = 0$.
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни второго уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$.

По условию задачи, корни первого уравнения на 1 меньше корней второго. Это означает, что если $y_1$ и $y_2$ являются корнями второго уравнения, то $y_1-1$ и $y_2-1$ являются корнями первого. Следовательно, мы можем записать:
$x_1 = y_1 - 1$
$x_2 = y_2 - 1$
Отсюда следует, что $y_1 = x_1 + 1$ и $y_2 = x_2 + 1$.

Применим теорему Виета для обоих уравнений.
Для уравнения $x^2 - 5x + a = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
Произведение корней: $x_1 x_2 = a$

Для уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -(-7) = 7$
Произведение корней: $y_1 y_2 = 3a - 6$

Теперь воспользуемся связью между корнями. Подставим выражения $y_1 = x_1 + 1$ и $y_2 = x_2 + 1$ в формулы Виета для второго уравнения.
Рассмотрим сумму корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + x_2) + 2$.
Мы знаем, что $y_1 + y_2 = 7$ и $x_1 + x_2 = 5$. Подставив эти значения, получаем $7 = 5 + 2$, что является верным тождеством.
Теперь рассмотрим произведение корней:
$y_1 y_2 = (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1$.
Мы знаем, что $y_1 y_2 = 3a - 6$, $x_1 x_2 = a$ и $x_1 + x_2 = 5$. Подставим эти значения в равенство:
$3a - 6 = a + 5 + 1$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$3a - 6 = a + 6$
$3a - a = 6 + 6$
$2a = 12$
$a = 6$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, найдем корни каждого из уравнений.
Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3.
Таким образом, корни первого уравнения: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

Второе уравнение: $x^2 - 7x + 3(6) - 6 = 0$, что преобразуется в $x^2 - 7x + 12 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Это числа 3 и 4.
Таким образом, корни второго уравнения: $y_1 = 3, y_2 = 4$.

Проверим выполнение условия: корни первого уравнения (2 и 3) на 1 меньше корней второго уравнения (3 и 4). Действительно, $2 = 3-1$ и $3 = 4-1$. Условие выполнено.

Ответ: $a=6$; корни уравнения $x^2 - 5x + a = 0$ равны 2 и 3; корни уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$ равны 3 и 4.