Номер 8.30, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.30. В уравнении $x^2 - 2x + a = 0$ значение суммы квадратов корней равно 24. Найдите $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 24. Математически это записывается так: $x_1^2 + x_2^2 = 24$.

Для решения задачи применим теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 2x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -2$ и $q = a$. Следовательно:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$.

Теперь нам нужно выразить сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Из этого тождества выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 24$, $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1x_2 = a$.

$24 = (2)^2 - 2a$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$24 = 4 - 2a$

$2a = 4 - 24$

$2a = -20$

$a = \frac{-20}{2}$

$a = -10$

Чтобы решение было корректным, необходимо, чтобы при найденном значении $a$ уравнение имело действительные корни. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $x^2 - 2x - 10 = 0$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$

Так как $D = 44 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, найденное значение $a$ является верным.

Ответ: -10