Номер 8.32, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.32. При каком значении параметра $m$ значение суммы квадратов корней уравнения $x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0$ наименьшее?

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0$.

Прежде всего, определим, при каких значениях параметра $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).$D = b^2 - 4ac = (2 - m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 3) = (4 - 4m + m^2) + 4m + 12 = m^2 + 16$.Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного числа $m$, то $D = m^2 + 16$ всегда больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $m$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета, сумма и произведение корней выражаются через коэффициенты уравнения следующим образом:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(2 - m) = m - 2$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = -m - 3$.

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть выражения $S = x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через известные нам $x_1 + x_2$ и $x_1 x_2$:$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения, полученные по теореме Виета, в формулу для $S$:$S(m) = (m - 2)^2 - 2(-m - 3) = (m^2 - 4m + 4) + 2m + 6 = m^2 - 2m + 10$.

Задача сводится к нахождению значения $m$, при котором квадратичная функция $S(m) = m^2 - 2m + 10$ принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $m^2$ равен $1$ (положительное число). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = am^2 + bm + c$ находится по формуле $m_0 = -\frac{b}{2a}$.Для функции $S(m)$ имеем $a=1$ и $b=-2$.$m = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Таким образом, при $m=1$ значение суммы квадратов корней уравнения будет наименьшим.

Ответ: $1$.