Страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.26. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $4x^2 - 6x - 1 = 0$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются значения выражений:

1) $x_1 x_2^2$ и $x_2 x_1^2$;

2) $\frac{1}{x_1^2}$ и $\frac{1}{x_2^2}$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + 1$ и $\frac{x_2}{x_1} + 1$;

4) $\frac{2}{x_1^3} - 1$ и $\frac{2}{x_2^3} - 1$.

Чтобы составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются заданные выражения, мы воспользуемся теоремой Виета. Для нового уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ или приведенного вида $x^2 - (y_1+y_2)x + y_1y_2 = 0$, где $y_1$ и $y_2$ — его корни, нам необходимо вычислить их сумму $S = y_1+y_2$ и произведение $P = y_1y_2$.

Исходное уравнение: $4x^2 - 6x - 1 = 0$.
По теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(\frac{-6}{4}) = \frac{3}{2}$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-1}{4}$.

Эти значения мы будем использовать для нахождения сумм и произведений новых корней.

1) $x_1 x_2^2$ и $x_2 x_1^2$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 x_2^2$ и $y_2 = x_2 x_1^2$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = x_1 x_2^2 + x_2 x_1^2 = x_1 x_2 (x_2 + x_1)$.
Подставим известные значения $x_1+x_2$ и $x_1x_2$:
$S = (-\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2}) = -\frac{3}{8}$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (x_1 x_2^2) \cdot (x_2 x_1^2) = x_1^3 x_2^3 = (x_1 x_2)^3$.
Подставим известное значение $x_1x_2$:
$P = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$.

Новое квадратное уравнение имеет вид $x^2 - Sx + P = 0$:
$x^2 - (-\frac{3}{8})x + (-\frac{1}{64}) = 0$
$x^2 + \frac{3}{8}x - \frac{1}{64} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим уравнение на 64:
$64x^2 + 24x - 1 = 0$.
Ответ: $64x^2 + 24x - 1 = 0$.

2) $\frac{1}{x_1^2}$ и $\frac{1}{x_2^2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1^2}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2^2}$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{1}{4})}{(-\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{9}{4} + \frac{2}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{11}{4} \cdot 16 = 44$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1^2} \cdot \frac{1}{x_2^2} = \frac{1}{(x_1x_2)^2}$.
Подставим известное значение:
$P = \frac{1}{(-\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - 44x + 16 = 0$.
Ответ: $x^2 - 44x + 16 = 0$.

3) $\frac{x_1}{x_2} + 1$ и $\frac{x_2}{x_1} + 1$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{x_1}{x_2} + 1$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1} + 1$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = (\frac{x_1}{x_2} + 1) + (\frac{x_2}{x_1} + 1) = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + 2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + 2$.
Выражение $x_1^2+x_2^2$ было вычислено в предыдущем пункте: $(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{11}{4}$.
$S = \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{4}} + 2 = -11 + 2 = -9$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (\frac{x_1}{x_2} + 1)(\frac{x_2}{x_1} + 1) = \frac{x_1}{x_2}\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + 1 = 1 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} + 1 = 2 + \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{4}} = 2 - 11 = -9$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - (-9)x + (-9) = 0$
$x^2 + 9x - 9 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x - 9 = 0$.

4) $\frac{2}{x_1^3} - 1$ и $\frac{2}{x_2^3} - 1$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{2}{x_1^3} - 1$ и $y_2 = \frac{2}{x_2^3} - 1$.
Найдем их сумму:
$S = y_1 + y_2 = (\frac{2}{x_1^3} - 1) + (\frac{2}{x_2^3} - 1) = 2(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}) - 2 = 2\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^3} - 2$.
Найдем $x_1^3+x_2^3$ через известные величины:
$x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$.
$x_1^3+x_2^3 = \frac{3}{2}((\frac{3}{2})^2 - 3(-\frac{1}{4})) = \frac{3}{2}(\frac{9}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{3}{2}(\frac{12}{4}) = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$.
Теперь найдем сумму $S$:
$S = 2 \cdot \frac{\frac{9}{2}}{(-\frac{1}{4})^3} - 2 = 2 \cdot \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{1}{64}} - 2 = 2 \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-64)) - 2 = 2 \cdot (-288) - 2 = -576 - 2 = -578$.

Найдем их произведение:
$P = y_1 \cdot y_2 = (\frac{2}{x_1^3} - 1)(\frac{2}{x_2^3} - 1) = \frac{4}{x_1^3x_2^3} - 2(\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}) + 1 = \frac{4}{(x_1x_2)^3} - 2\frac{x_1^3+x_2^3}{(x_1x_2)^3} + 1$.
Подставим вычисленные ранее значения:
$P = \frac{4}{(-\frac{1}{64})} - 2(-288) + 1 = -256 + 576 + 1 = 320 + 1 = 321$.

Новое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$
$x^2 - (-578)x + 321 = 0$
$x^2 + 578x + 321 = 0$.
Ответ: $x^2 + 578x + 321 = 0$.

8.27. При каких значениях k значение произведения корней квадратного уравнения $x^2 + 3x + (k^2 - 7k + 12) = 0$ равно нулю?

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения. Дано квадратное уравнение: $x^2 + 3x + (k^2 - 7k + 12) = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x^2$ равен 1. В данном уравнении коэффициенты следующие:
$p = 3$
$q = k^2 - 7k + 12$

Согласно теореме Виета, произведение корней ($x_1$ и $x_2$) приведенного квадратного уравнения равно его свободному члену $q$.
$x_1 \cdot x_2 = q = k^2 - 7k + 12$

По условию задачи, значение произведения корней равно нулю. Следовательно, мы можем приравнять свободный член к нулю:
$k^2 - 7k + 12 = 0$

Теперь необходимо решить полученное квадратное уравнение относительно переменной $k$. Это можно сделать, например, с помощью теоремы Виета. Найдем два числа, сумма которых равна $7$, а произведение равно $12$. Такими числами являются $3$ и $4$.
Следовательно, корни этого уравнения:
$k_1 = 3$
$k_2 = 4$

Также можно было найти корни через дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$k_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$
$k_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$
$k_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Для корректности решения необходимо убедиться, что при найденных значениях $k$ исходное уравнение для $x$ имеет действительные корни. Для этого его дискриминант ($D_x$) должен быть неотрицательным.
$D_x = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 - 7k + 12)$
Поскольку мы ищем $k$, при которых $k^2 - 7k + 12 = 0$, то свободный член исходного уравнения обращается в ноль.
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 9$
Так как $D_x = 9 > 0$, то при $k=3$ и $k=4$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня, и наше решение является верным.

Ответ: при $k=3$ и $k=4$.

8.28. При каких значениях $k$ значение произведения корней квадратного уравнения $x^2 + (k^2 + 4k - 5)x - k = 0$ равно нулю?

Данное уравнение $x^2 + (k^2 + 4k - 5)x - k = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Его коэффициенты в зависимости от параметра $k$ равны:

$a = 1$
$b = k^2 + 4k - 5$
$c = -k$

Прежде всего, для существования корней у квадратного уравнения необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицательным ($D \ge 0$).

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (где старший коэффициент $a=1$) равно его свободному члену $c$. В общем случае произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

Для нашего уравнения произведение корней составляет: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-k}{1} = -k$

По условию задачи, значение произведения корней должно быть равно нулю. Составим и решим уравнение: $x_1 \cdot x_2 = 0$
$-k = 0$
$k = 0$

Теперь необходимо проверить, выполняются ли при найденном значении $k=0$ условия существования корней, то есть, является ли дискриминант $D$ неотрицательным.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Подставим $k=0$ в выражения для коэффициентов:

$a = 1$
$b = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$
$c = -0 = 0$

Теперь вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 25 - 0 = 25$

Так как $D = 25 > 0$, при $k=0$ уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, найденное значение $k=0$ является решением задачи.

Ответ: $k=0$.

8.29. В уравнении $x^2 - 4x + a = 0$ значение суммы квадратов корней равно 16. Найдите $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 16, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 16$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для нашего уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = a$. Следовательно:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$.

Теперь выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней. Используем формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения в это выражение:

$16 = (4)^2 - 2 \cdot a$

$16 = 16 - 2a$

Перенесем 16 в левую часть уравнения:

$16 - 16 = -2a$

$0 = -2a$

$a = 0$

Проверим, существуют ли при данном значении $a$ действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

При $a = 0$, дискриминант $D = 16 - 4 \cdot 0 = 16 > 0$. Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $a = 0$.

8.30. В уравнении $x^2 - 2x + a = 0$ значение суммы квадратов корней равно 24. Найдите $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 24. Математически это записывается так: $x_1^2 + x_2^2 = 24$.

Для решения задачи применим теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 2x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -2$ и $q = a$. Следовательно:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$.

Теперь нам нужно выразить сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Из этого тождества выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 24$, $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1x_2 = a$.

$24 = (2)^2 - 2a$

Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$24 = 4 - 2a$

$2a = 4 - 24$

$2a = -20$

$a = \frac{-20}{2}$

$a = -10$

Чтобы решение было корректным, необходимо, чтобы при найденном значении $a$ уравнение имело действительные корни. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $x^2 - 2x - 10 = 0$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$

Так как $D = 44 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, найденное значение $a$ является верным.

Ответ: -10

8.31. При каких значениях a значение суммы корней уравнения $x^2 - 2a(x - 1) - 1 = 0$ равно значению суммы квадратов его корней?

Для решения задачи сначала приведем данное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$.

Исходное уравнение:

$x^2 - 2a(x - 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2ax + 2a - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$, где коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = -2a$

$C = 2a - 1$

Квадратное уравнение имеет корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 1) = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2$

Так как $(a-1)^2$ всегда больше или равен нулю для любого действительного значения $a$, то и $D = 4(a-1)^2 \ge 0$ при любом $a$. Следовательно, уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Согласно теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{-2a}{1} = 2a$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = \frac{2a - 1}{1} = 2a - 1$

Теперь выразим сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$) через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения, полученные по теореме Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (2a)^2 - 2(2a - 1) = 4a^2 - 4a + 2$

По условию задачи, значение суммы корней равно значению суммы квадратов его корней:

$x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$

Подставим найденные выражения в это равенство:

$2a = 4a^2 - 4a + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:

$4a^2 - 4a - 2a + 2 = 0$

$4a^2 - 6a + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_a$:

$D_a = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни $a_1$ и $a_2$:

$a_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, условие задачи выполняется при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = 1$ или $a = \frac{1}{2}$.

8.32. При каком значении параметра $m$ значение суммы квадратов корней уравнения $x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0$ наименьшее?

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0$.

Прежде всего, определим, при каких значениях параметра $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).$D = b^2 - 4ac = (2 - m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 3) = (4 - 4m + m^2) + 4m + 12 = m^2 + 16$.Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного числа $m$, то $D = m^2 + 16$ всегда больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $m$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета, сумма и произведение корней выражаются через коэффициенты уравнения следующим образом:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(2 - m) = m - 2$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = -m - 3$.

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть выражения $S = x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через известные нам $x_1 + x_2$ и $x_1 x_2$:$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения, полученные по теореме Виета, в формулу для $S$:$S(m) = (m - 2)^2 - 2(-m - 3) = (m^2 - 4m + 4) + 2m + 6 = m^2 - 2m + 10$.

Задача сводится к нахождению значения $m$, при котором квадратичная функция $S(m) = m^2 - 2m + 10$ принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $m^2$ равен $1$ (положительное число). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = am^2 + bm + c$ находится по формуле $m_0 = -\frac{b}{2a}$.Для функции $S(m)$ имеем $a=1$ и $b=-2$.$m = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Таким образом, при $m=1$ значение суммы квадратов корней уравнения будет наименьшим.

Ответ: $1$.

8.33. При каком значении параметра $m$ значение суммы квадратов корней уравнения $x^2 + (m - 1)x + m^2 - 1.5 = 0$ наибольшее?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + (m - 1)x + m^2 - 1,5 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

$D = (m-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 1,5) = m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + 6 = -3m^2 - 2m + 7$.

Решим неравенство:

$-3m^2 - 2m + 7 \ge 0$

$3m^2 + 2m - 7 \le 0$

Найдем корни уравнения $3m^2 + 2m - 7 = 0$:

$m_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 84}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Поскольку ветви параболы $y = 3m^2 + 2m - 7$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $m$, лежащих между корнями:

$\frac{-1 - \sqrt{22}}{3} \le m \le \frac{-1 + \sqrt{22}}{3}$.

Это область допустимых значений параметра $m$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения. Мы ищем наибольшее значение суммы их квадратов $S = x_1^2 + x_2^2$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(m-1) = 1-m$

$x_1 x_2 = m^2 - 1,5$

Выразим сумму квадратов корней через $m$:

$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (1-m)^2 - 2(m^2 - 1,5)$

$S(m) = (1 - 2m + m^2) - 2m^2 + 3 = -m^2 - 2m + 4$.

Мы получили квадратичную функцию $S(m) = -m^2 - 2m + 4$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $m^2$ отрицателен. Наибольшее значение эта функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $m_0$ находится по формуле $m_0 = -\frac{B}{2A}$, где $A = -1$ и $B = -2$.

$m_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.

Проверим, принадлежит ли найденное значение $m = -1$ области допустимых значений $[\frac{-1 - \sqrt{22}}{3}, \frac{-1 + \sqrt{22}}{3}]$.

Так как $4 < \sqrt{22} < 5$, то $\frac{-1-5}{3} < \frac{-1 - \sqrt{22}}{3} < \frac{-1-4}{3}$, то есть $-2 < \frac{-1 - \sqrt{22}}{3} < -\frac{5}{3}$.

И $\frac{-1+4}{3} < \frac{-1 + \sqrt{22}}{3} < \frac{-1+5}{3}$, то есть $1 < \frac{-1 + \sqrt{22}}{3} < \frac{4}{3}$.

Значение $m = -1$ лежит в интервале $(\frac{-1 - \sqrt{22}}{3}, \frac{-1 + \sqrt{22}}{3})$, а значит, является допустимым.

Таким образом, при $m = -1$ значение суммы квадратов корней уравнения будет наибольшим.

Ответ: при $m = -1$.

8.34. Найдите значение суммы квадратов всех корней уравнения $x^2 - 3|x| + 1 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 - 3|x| + 1 = 0$.Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.Корни для $t$ равны:$t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.Оба корня являются положительными (так как $3 > \sqrt{5}$, поскольку $9 > 5$), поэтому оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к переменной $x$ через обратную замену $|x| = t$.Поскольку мы получили два положительных значения для $t$, исходное уравнение имеет четыре действительных корня:$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$, $x_{2} = -\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$,$x_{3} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_{4} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Нам необходимо найти сумму квадратов всех корней: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$.Заметим, что $x_1^2 = (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = t_1^2$ и $x_2^2 = (-\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = t_1^2$.Аналогично, $x_3^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = t_2^2$ и $x_4^2 = (-\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = t_2^2$.Таким образом, искомая сумма квадратов равна $S = t_1^2 + t_1^2 + t_2^2 + t_2^2 = 2(t_1^2 + t_2^2)$.

Для нахождения суммы квадратов $t_1^2 + t_2^2$ удобно воспользоваться теоремой Виета для уравнения $t^2 - 3t + 1 = 0$.Сумма корней: $t_1 + t_2 = 3$.Произведение корней: $t_1 t_2 = 1$.Выразим сумму квадратов через сумму и произведение:$t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 3^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$.

Наконец, подставим полученное значение в выражение для суммы квадратов корней исходного уравнения:$S = 2 \cdot (t_1^2 + t_2^2) = 2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14.

8.35. При каких значениях $p$ и $q$ корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ равны $2p$ и $\frac{q}{2}$?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию задачи, его корнями являются $x_1 = 2p$ и $x_2 = \frac{q}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $b=p$ и $c=q$, теорема Виета дает следующую систему:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь подставим в эту систему выражения для корней $x_1 = 2p$ и $x_2 = \frac{q}{2}$:

$ \begin{cases} 2p + \frac{q}{2} = -p \\ 2p \cdot \frac{q}{2} = q \end{cases} $

Начнем решение системы со второго уравнения:
$2p \cdot \frac{q}{2} = q$
$pq = q$
$pq - q = 0$
$q(p - 1) = 0$

Последнее уравнение означает, что либо $q=0$, либо $p-1=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 0$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$2p + \frac{0}{2} = -p$
$2p = -p$
$3p = 0$
$p = 0$
Таким образом, первая пара значений — $(p, q) = (0, 0)$.
Проверим: если $p=0$ и $q=0$, уравнение имеет вид $x^2=0$, его корни $x_1=0, x_2=0$. По условию корни должны быть равны $2p = 2 \cdot 0 = 0$ и $\frac{q}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Решение верное.

Случай 2: $p - 1 = 0$, что означает $p = 1$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$2(1) + \frac{q}{2} = -1$
$2 + \frac{q}{2} = -1$
$\frac{q}{2} = -1 - 2$
$\frac{q}{2} = -3$
$q = -6$
Таким образом, вторая пара значений — $(p, q) = (1, -6)$.
Проверим: если $p=1$ и $q=-6$, уравнение имеет вид $x^2 + x - 6 = 0$. Его корни можно найти, решив уравнение: $(x+3)(x-2)=0$, откуда $x_1=-3, x_2=2$. По условию корни должны быть равны $2p = 2 \cdot 1 = 2$ и $\frac{q}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Решение верное.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две пары значений $p$ и $q$.
Ответ: $(p, q) = (0, 0)$ или $(p, q) = (1, -6)$.

8.36. При каких значениях параметра $a$ один из корней квадратного уравнения $(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a - 1)x + 2 = 0$ в два раза больше другого?

Пусть дано квадратное уравнение $(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a - 1)x + 2 = 0$. Для того чтобы это уравнение было квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю:

$a^2 - 5a + 3 \neq 0$

Решим уравнение $a^2 - 5a + 3 = 0$, чтобы найти недопустимые значения $a$:

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Следовательно, $a \neq \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Также для существования двух действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Пусть корни уравнения – $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, один корень в два раза больше другого, то есть $x_2 = 2x_1$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае $A = a^2 - 5a + 3$, $B = 3a - 1$, $C = 2$. Подставим $x_2 = 2x_1$ в формулы Виета:

1) $x_1 + 2x_1 = 3x_1 = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3}$

2) $x_1 \cdot 2x_1 = 2x_1^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$

Из второго уравнения системы получим:

$x_1^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$

Из первого уравнения системы выразим $x_1$:

$x_1 = -\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}$

Возведем это выражение в квадрат:

$x_1^2 = \left(-\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}\right)^2 = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $x_1^2$:

$\frac{1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$

Поскольку мы уже определили, что $a^2 - 5a + 3 \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $9(a^2 - 5a + 3)^2$:

$9(a^2 - 5a + 3) = (3a - 1)^2$

Раскроем скобки:

$9a^2 - 45a + 27 = 9a^2 - 6a + 1$

Сократим $9a^2$ в обеих частях уравнения:

$-45a + 27 = -6a + 1$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, а константы — в другую:

$45a - 6a = 27 - 1$

$39a = 26$

$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ исходным условиям.

1. Проверим, что $a^2 - 5a + 3 \neq 0$ при $a = \frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^2 - 5(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{4}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{4 - 30 + 27}{9} = \frac{1}{9}$.

Так как $\frac{1}{9} \neq 0$, условие выполняется.

2. Проверим, что дискриминант $D \ge 0$ при $a = \frac{2}{3}$:

$D = (3a - 1)^2 - 4(a^2 - 5a + 3)(2) = (3a - 1)^2 - 8(a^2 - 5a + 3)$.

Мы уже нашли, что $a^2 - 5a + 3 = \frac{1}{9}$ при $a = \frac{2}{3}$.

Также найдем $3a - 1 = 3(\frac{2}{3}) - 1 = 2 - 1 = 1$.

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = (1)^2 - 8(\frac{1}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.

Так как $D = \frac{1}{9} > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Условие выполняется.

Следовательно, найденное значение $a$ является решением задачи.

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.

8.37. Известно, что корни уравнения $x^2 - 5x + a = 0$ на 1 меньше корней уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$. Найдите $a$ и корни каждого из уравнений.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни первого уравнения $x^2 - 5x + a = 0$.
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни второго уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$.

По условию задачи, корни первого уравнения на 1 меньше корней второго. Это означает, что если $y_1$ и $y_2$ являются корнями второго уравнения, то $y_1-1$ и $y_2-1$ являются корнями первого. Следовательно, мы можем записать:
$x_1 = y_1 - 1$
$x_2 = y_2 - 1$
Отсюда следует, что $y_1 = x_1 + 1$ и $y_2 = x_2 + 1$.

Применим теорему Виета для обоих уравнений.
Для уравнения $x^2 - 5x + a = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
Произведение корней: $x_1 x_2 = a$

Для уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -(-7) = 7$
Произведение корней: $y_1 y_2 = 3a - 6$

Теперь воспользуемся связью между корнями. Подставим выражения $y_1 = x_1 + 1$ и $y_2 = x_2 + 1$ в формулы Виета для второго уравнения.
Рассмотрим сумму корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + x_2) + 2$.
Мы знаем, что $y_1 + y_2 = 7$ и $x_1 + x_2 = 5$. Подставив эти значения, получаем $7 = 5 + 2$, что является верным тождеством.
Теперь рассмотрим произведение корней:
$y_1 y_2 = (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1$.
Мы знаем, что $y_1 y_2 = 3a - 6$, $x_1 x_2 = a$ и $x_1 + x_2 = 5$. Подставим эти значения в равенство:
$3a - 6 = a + 5 + 1$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$3a - 6 = a + 6$
$3a - a = 6 + 6$
$2a = 12$
$a = 6$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, найдем корни каждого из уравнений.
Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 6. Это числа 2 и 3.
Таким образом, корни первого уравнения: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

Второе уравнение: $x^2 - 7x + 3(6) - 6 = 0$, что преобразуется в $x^2 - 7x + 12 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Это числа 3 и 4.
Таким образом, корни второго уравнения: $y_1 = 3, y_2 = 4$.

Проверим выполнение условия: корни первого уравнения (2 и 3) на 1 меньше корней второго уравнения (3 и 4). Действительно, $2 = 3-1$ и $3 = 4-1$. Условие выполнено.

Ответ: $a=6$; корни уравнения $x^2 - 5x + a = 0$ равны 2 и 3; корни уравнения $x^2 - 7x + 3a - 6 = 0$ равны 3 и 4.

8.38. Известно, что корни уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ равны соответственно квадратам корней уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$. Найдите $a$ и $b$ и корни каждого из уравнений.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$. Согласно условию задачи, корнями уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ являются $x_1^2$ и $x_2^2$. Для решения задачи применим теорему Виета к обоим уравнениям.

Для уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -a$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$

Для уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1^2 + x_2^2 = -(-13) = 13$
Произведение корней: $x_1^2 \cdot x_2^2 = b$

Найдите a и b
Сначала найдем значение $b$. Из соотношения для второго уравнения имеем $b = x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 \cdot x_2)^2$. Используя соотношение для первого уравнения $x_1 \cdot x_2 = 6$, получаем:
$b = 6^2 = 36$.
Теперь найдем значение $a$. Воспользуемся алгебраическим тождеством $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Выразим из него сумму квадратов: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные нам значения из теоремы Виета:
$13 = (-a)^2 - 2 \cdot 6$
$13 = a^2 - 12$
$a^2 = 25$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 5$ или $a = -5$.
Ответ: $b = 36$; $a = 5$ или $a = -5$.

Найдите корни каждого из уравнений
Поскольку для $a$ существует два возможных значения, рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: $a = 5$ и $b = 36$.
Первое уравнение: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Его корни, согласно теореме Виета, в сумме дают $-5$, а в произведении $6$. Это числа $-2$ и $-3$.
Второе уравнение: $x^2 - 13x + 36 = 0$.
Его корни являются квадратами корней первого уравнения: $(-2)^2 = 4$ и $(-3)^2 = 9$.
Случай 2: $a = -5$ и $b = 36$.
Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Его корни, согласно теореме Виета, в сумме дают $5$, а в произведении $6$. Это числа $2$ и $3$.
Второе уравнение: $x^2 - 13x + 36 = 0$.
Его корни являются квадратами корней первого уравнения: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Ответ: Существует два набора решений.
1. При $a=5$ и $b=36$: корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ равны $-2$ и $-3$; корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$ равны $4$ и $9$.
2. При $a=-5$ и $b=36$: корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $2$ и $3$; корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$ равны $4$ и $9$.