Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для какого квадратного уравнения значение суммы его корней равно 2, а произведения — 5?

2. Приведите пример устного (методом подбора) нахождения корней квадратного уравнения, используя теорему Виета.

1. Для нахождения квадратного уравнения по известным значениям суммы и произведения его корней используется теорема, обратная теореме Виета. Она гласит, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В данном случае нам даны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Сравнивая эти значения с формулами Виета для приведенного уравнения, находим коэффициенты $p$ и $q$:

$-p = 2$, следовательно, $p = -2$.

$q = -5$.

Теперь подставим найденные коэффициенты $p$ и $q$ в общую формулу приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + (-2)x + (-5) = 0$

$x^2 - 2x - 5 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $x^2 - 2x - 5 = 0$

2. Приведем пример устного нахождения корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Рассмотрим уравнение:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -8$ и $q = 15$. Согласно теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться два условия:

1. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p = -(-8) = 8$.

2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q = 15$.

Теперь устно подберем два числа, которые удовлетворяют этим двум условиям. Начнем с произведения. Нам нужно найти два числа, которые при умножении дают 15. Поскольку их сумма (8) и произведение (15) положительны, оба корня должны быть положительными.

Пробуем пары целых положительных множителей числа 15:

- Пара 1 и 15: произведение $1 \cdot 15 = 15$, но сумма $1 + 15 = 16$. Не подходит.

- Пара 3 и 5: произведение $3 \cdot 5 = 15$, и сумма $3 + 5 = 8$. Подходит!

Таким образом, мы нашли корни уравнения методом подбора: это числа 3 и 5.

Ответ: Пример: для уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$. Методом подбора находим, что эти условия выполняются для чисел 3 и 5, которые и являются корнями данного уравнения.

8.1. Найдите значения суммы и произведения корней уравнения:

1) $x^2 + 9x - 22 = 0$;

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$;

3) $x^2 - x - 72 = 0$;

4) $-x^2 + 3,5x - 2 = 0$;

5) $-3x^2 - 8x + 80 = 0$;

6) $5x^2 + 9x - 18 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратных уравнений используется теорема Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего действительные корни $x_1$ и $x_2$ (т.е. дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$), выполняются следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Применим эти формулы к каждому уравнению.

1) $x^2 + 9x - 22 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1, b=9, c=-22$.
Проверим наличие корней, вычислив дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{9}{1} = -9$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-22}{1} = -22$.
Ответ: сумма корней -9, произведение корней -22.

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-7, c=12$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Так как $D > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12$.
Ответ: сумма корней 7, произведение корней 12.

3) $x^2 - x - 72 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1, c=-72$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$. Так как $D > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-72}{1} = -72$.
Ответ: сумма корней 1, произведение корней -72.

4) $-x^2 + 3,5x - 2 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=-1, b=3,5, c=-2$.
Дискриминант: $D = (3,5)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 12,25 - 8 = 4,25$. Так как $D > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3,5}{-1} = 3,5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{-1} = 2$.
Ответ: сумма корней 3,5, произведение корней 2.

5) $-3x^2 - 8x + 80 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=-3, b=-8, c=80$.
Дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 80 = 64 + 960 = 1024$. Так как $D > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{-3} = -\frac{8}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{80}{-3} = -\frac{80}{3}$.
Ответ: сумма корней $-\frac{8}{3}$, произведение корней $-\frac{80}{3}$.

6) $5x^2 + 9x - 18 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=5, b=9, c=-18$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 81 + 360 = 441$. Так как $D > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{9}{5}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{5}$.
Ответ: сумма корней $-\frac{9}{5}$, произведение корней $-\frac{18}{5}$.