Страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.44. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{2\sqrt{5}}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$;

3) $\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1 + x}}$;

4) $\frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} - 2}$;

5) $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$;

6) $\frac{x}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - 2x}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{2\sqrt{5}}$, домножим ее числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$

2) Знаменатель дроби $\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ представляет собой разность корней. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{7} + \sqrt{2}$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

3) Для дроби $\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1+x}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $2 + \sqrt{1+x}$. Домножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{1+x}} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{(2 - \sqrt{1+x})(2 + \sqrt{1+x})} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{2^2 - (\sqrt{1+x})^2} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{4 - (1+x)} = \frac{(x^2 - 9)(2 + \sqrt{1+x})}{3 - x}$

Разложим числитель на множители $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ и вынесем в знаменателе знак минус за скобки, чтобы сократить дробь:

$\frac{(x-3)(x+3)(2 + \sqrt{1+x})}{-(x - 3)} = -(x+3)(2 + \sqrt{1+x})$

Ответ: $-(x+3)(2 + \sqrt{1+x})$

4) В дроби $\frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{x+2} + 2$:

$\frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2})^2 - 2^2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x+2 - 4} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x - 2}$

Сократив дробь на общий множитель $(x-2)$, получим:

$\sqrt{x+2} + 2$

Ответ: $\sqrt{x+2} + 2$

5) Для дроби $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $3 + 2\sqrt{2}$. Домножим числитель и знаменатель на это выражение:

$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$

6) Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$:

$\frac{x}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2}$

Упростим выражение в знаменателе:

$\frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{(1-x) - (1-2x)} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{1-x-1+2x} = \frac{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})}{x}$

Сократив дробь на $x$, получаем:

$\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$

Ответ: $\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}$

8.45. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{32} - \sqrt{7};$

2) $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{18} + \sqrt{28} + 2;$

3) $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} - \frac{3}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{44} + 3\sqrt{12};$

4) $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{8} - \sqrt{28} - 3.$

1) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{32} - \sqrt{7}$.

Сначала избавимся от иррациональности в знаменателях дробей, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{2} + \sqrt{7})}{(2\sqrt{2} - \sqrt{7})(2\sqrt{2} + \sqrt{7})} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{7}}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{7}}{8 - 7} = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} + 3$.

Далее, упростим корень: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + \sqrt{7}) + (3\sqrt{2} + 3) - 4\sqrt{2} - \sqrt{7}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + 3 = \sqrt{2} + 0 + 3 = \sqrt{2} + 3$.

Ответ: $\sqrt{2} + 3$.

2) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{18} + \sqrt{28} + 2$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{2} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{2} + \sqrt{7})(2\sqrt{2} - \sqrt{7})} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}{8 - 7} = 2\sqrt{2} - \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} + 3$.

Упростим корни: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} - \sqrt{7}) - (3\sqrt{2} + 3) + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} + 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{2} - \sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 3 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} + 2 = (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (-\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) + (-3 + 2) = 2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 1$.

3) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} - \frac{3}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{44} + 3\sqrt{12}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях.

Первая дробь: $\frac{1}{2\sqrt{3} - \sqrt{11}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{3} + \sqrt{11})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{11})(2\sqrt{3} + \sqrt{11})} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{11}}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{11})^2} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{11}}{12 - 11} = 2\sqrt{3} + \sqrt{11}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{2 - \sqrt{3}} = \frac{3(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4 - 3} = 6 + 3\sqrt{3}$.

Упростим корни: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$ и $3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{3} + \sqrt{11}) - (6 + 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{11} + 6\sqrt{3}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{3} + \sqrt{11} - 6 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{11} + 6\sqrt{3} = (2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) + (\sqrt{11} - 2\sqrt{11}) - 6 = 5\sqrt{3} - \sqrt{11} - 6$.

Ответ: $5\sqrt{3} - \sqrt{11} - 6$.

4) Упростим выражение $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1} + \sqrt{8} - \sqrt{28} - 3$.

Избавимся от иррациональности в знаменателях.

Первая дробь (как в пункте 1): $\frac{1}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Вторая дробь: $\frac{3}{\sqrt{2} + 1} = \frac{3(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{3\sqrt{2} - 3}{2 - 1} = 3\sqrt{2} - 3$.

Упростим корни: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим все в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + \sqrt{7}) - (3\sqrt{2} - 3) + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{7} - 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{2} + \sqrt{7} - 3\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{7} - 3 = (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) + (3 - 3) = \sqrt{2} - \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{2} - \sqrt{7}$.

8.46. В новой квартире необходимо выложить кафелем “фартук” на кухне длиной 6 м и высотой 80 см.

1) Сколько коробок кафеля необходимо для этого купить, если размер плитки $25 \times 30$ см, в коробку входит 20 штук, на бой и отходы уходит 8% всего количества необходимой по площади кафельной плитки?

2) Если стоимость одной плитки 90 тг и стоимость необходимого клея 720 тг, то какова сумма товара?

1) Для решения задачи сначала необходимо найти площадь поверхности, которую нужно покрыть кафелем (площадь "фартука"). Размеры даны в метрах и сантиметрах, поэтому приведем их к одной единице измерения — сантиметрам.

Длина "фартука": $L = 6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.

Высота "фартука": $H = 80 \text{ см}$.

Площадь "фартука" вычисляется как произведение длины на высоту:

$S_{фартук} = L \times H = 600 \text{ см} \times 80 \text{ см} = 48000 \text{ см}^2$.

Далее вычислим площадь одной кафельной плитки:

$S_{плитки} = 25 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 750 \text{ см}^2$.

Теперь можно рассчитать, сколько плиток потребуется для покрытия всей площади "фартука" без учета запаса на бой и отходы:

$N_{чистое} = S_{фартук} / S_{плитки} = 48000 \text{ см}^2 / 750 \text{ см}^2 = 64$ плитки.

Согласно условию, на бой и отходы необходимо заложить 8% от этого количества. Рассчитаем общее количество плиток с учетом запаса:

$N_{общее} = N_{чистое} \times (1 + 0.08) = 64 \times 1.08 = 69.12$ плиток.

Поскольку плитку можно приобрести только в целом количестве, округляем полученное значение до ближайшего целого в большую сторону. Таким образом, необходимо 70 плиток.

Плитка продается в коробках по 20 штук. Рассчитаем, сколько коробок нужно купить:

Количество коробок = $N_{требуется} / \text{плиток в коробке} = 70 / 20 = 3.5$ коробки.

Так как купить часть коробки невозможно, округляем это значение до ближайшего целого в большую сторону. Следовательно, нужно купить 4 коробки.

Ответ: 4 коробки.

2) Чтобы найти общую сумму товара, нужно рассчитать стоимость всего купленного кафеля и прибавить к ней стоимость клея.

Из предыдущего пункта мы выяснили, что необходимо купить 4 коробки плитки. Найдем общее количество плиток, которое будет куплено:

Всего плиток = $4 \text{ коробки} \times 20 \text{ шт/коробка} = 80$ штук.

Стоимость одной плитки составляет 90 тг. Вычислим стоимость всех купленных плиток:

Стоимость плиток = $80 \text{ шт} \times 90 \text{ тг/шт} = 7200$ тг.

Стоимость необходимого клея по условию равна 720 тг.

Теперь найдем общую стоимость покупки, сложив стоимость плиток и клея:

Общая сумма = Стоимость плиток + Стоимость клея = $7200 \text{ тг} + 720 \text{ тг} = 7920$ тг.

Ответ: 7920 тг.

8.47. Выражение представьте в виде многочлена стандартного вида:

1) $(x - 2)(x + 7)$;

2) $(3x - 2)(x - 4)$;

3) $(4 - 3x)(2x + 5)$.

1) Чтобы представить произведение двучленов $(x - 2)$ и $(x + 7)$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и привести подобные слагаемые.
$(x - 2)(x + 7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 2 \cdot x - 2 \cdot 7 = x^2 + 7x - 2x - 14$.
Далее, приводим подобные слагаемые ($7x$ и $-2x$):
$x^2 + (7 - 2)x - 14 = x^2 + 5x - 14$.
Многочлен записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.
Ответ: $x^2 + 5x - 14$

2) Аналогично умножим двучлен $(3x - 2)$ на $(x - 4)$:
$(3x - 2)(x - 4) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-4) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-4) = 3x^2 - 12x - 2x + 8$.
Теперь приведем подобные слагаемые ($-12x$ и $-2x$):
$3x^2 + (-12 - 2)x + 8 = 3x^2 - 14x + 8$.
Ответ: $3x^2 - 14x + 8$

3) Умножим двучлен $(4 - 3x)$ на $(2x + 5)$:
$(4 - 3x)(2x + 5) = 4 \cdot 2x + 4 \cdot 5 - 3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 = 8x + 20 - 6x^2 - 15x$.
Приведем подобные слагаемые ($8x$ и $-15x$) и запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-6x^2 + (8x - 15x) + 20 = -6x^2 - 7x + 20$.
Ответ: $-6x^2 - 7x + 20$

8.48. Выделите квадрат двучлена:

1) $x^2 + 6x + 11;$

2) $x^2 - 8x + 15;$

3) $x^2 - 3x + 12;$

4) $x^2 - 5x - 7.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 + 6x + 11$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Член $2ab$ соответствует $6x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 6x$, откуда находим $b=3$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Представим свободный член 11 в виде суммы $9+2$.

Получим: $x^2 + 6x + 11 = x^2 + 6x + 9 + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 2$.

Теперь мы можем свернуть первые три слагаемых в квадрат суммы: $(x+3)^2 + 2$.

Ответ: $(x+3)^2+2$.

2) Для выражения $x^2 - 8x + 15$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Член $2ab$ соответствует $8x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 8x$, откуда $b=4$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Представим свободный член 15 в виде разности $16-1$.

Получим: $x^2 - 8x + 15 = x^2 - 8x + 16 - 1 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 1$.

Сворачиваем первые три слагаемых в квадрат разности: $(x-4)^2 - 1$.

Ответ: $(x-4)^2-1$.

3) В выражении $x^2 - 3x + 12$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a = x$. Член $2ab$ соответствует $3x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.

Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Чтобы не изменить выражение, добавим и вычтем это число.

$x^2 - 3x + 12 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 12 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - \frac{9}{4} + 12$.

Сворачиваем скобку в квадрат разности и вычисляем оставшееся выражение: $(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{39}{4}$.

Ответ: $(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{39}{4}$.

4) В выражении $x^2 - 5x - 7$ также используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a = x$. Член $2ab$ соответствует $5x$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 5x$, откуда $b = \frac{5}{2}$.

Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число.

$x^2 - 5x - 7 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 7 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + (\frac{5}{2})^2) - \frac{25}{4} - 7$.

Сворачиваем скобку в квадрат разности и вычисляем оставшееся выражение: $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{28}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{53}{4}$.

Ответ: $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{53}{4}$.