Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (устно) (8.2—8.5):

8.2. 1) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

2) $x^2 - 9x + 18 = 0;$

3) $x^2 + 9x + 14 = 0;$

4) $x^2 - 4x + 5 = 0.$

1) Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для его решения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q$.
В данном уравнении $p=5$ и $q=-6$. Таким образом, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Методом подбора находим, что этими числами являются $1$ и $-6$.
Проверка: $1 + (-6) = -5$ и $1 \cdot (-6) = -6$. Условия выполняются.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -6$.

2) Это приведенное квадратное уравнение $x^2 - 9x + 18 = 0$. Применим теорему Виета. В этом уравнении $p = -9$ и $q = 18$.
Составим систему для корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 18$
Нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 18. Этими числами являются $3$ и $6$.
Проверка: $3 + 6 = 9$ и $3 \cdot 6 = 18$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 6$.

3) Дано уравнение $x^2 + 9x + 14 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = 9$ и $q = 14$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -9$
$x_1 \cdot x_2 = 14$
Поскольку произведение корней положительно ($14$), а их сумма отрицательна ($-9$), оба корня должны быть отрицательными. Ищем два отрицательных числа, которые в произведении дают 14. Это могут быть пары $(-1, -14)$ или $(-2, -7)$. Проверим сумму для каждой пары: $-1 + (-14) = -15$; $-2 + (-7) = -9$. Вторая пара чисел является решением.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -7$.

4) Для уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ определим наличие действительных корней с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид $D = b^2 - 4ac$.
В данном уравнении коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=5$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$
Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

8.3.

1) $3y^2 - 8y + 5 = 0;$

2) $2y^2 + 9y + 7 = 0;$

3) $67y^2 - 105y + 38 = 0;$

4) $67y^2 - 105y - 172 = 0.$

1) Дано квадратное уравнение $3y^2 - 8y + 5 = 0$. Это уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-8$, $c=5$. Воспользуемся свойством коэффициентов квадратного уравнения. Если сумма коэффициентов $a+b+c=0$, то корнями уравнения являются $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{c}{a}$. Проверим, выполняется ли это условие: $3 + (-8) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0$. Условие выполняется. Следовательно, первый корень $y_1 = 1$. Второй корень $y_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = \frac{5}{3}$.

2) Дано квадратное уравнение $2y^2 + 9y + 7 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=9$, $c=7$. Воспользуемся другим свойством коэффициентов. Если выполняется равенство $a - b + c = 0$, то корнями уравнения являются $y_1 = -1$ и $y_2 = -\frac{c}{a}$. Проверим, выполняется ли это условие: $2 - 9 + 7 = 0$. Условие выполняется. Следовательно, первый корень $y_1 = -1$. Второй корень $y_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{7}{2}$.
Ответ: $y_1 = -1, y_2 = -\frac{7}{2}$.

3) Дано квадратное уравнение $67y^2 - 105y + 38 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=67$, $b=-105$, $c=38$. Проверим сумму коэффициентов: $a + b + c = 67 + (-105) + 38 = 105 - 105 = 0$. Так как сумма коэффициентов равна нулю, то первый корень уравнения $y_1 = 1$. Второй корень $y_2 = \frac{c}{a} = \frac{38}{67}$.
Ответ: $y_1 = 1, y_2 = \frac{38}{67}$.

4) Дано квадратное уравнение $67y^2 - 105y - 172 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=67$, $b=-105$, $c=-172$. Проверим, выполняется ли условие $a - b + c = 0$: $67 - (-105) + (-172) = 67 + 105 - 172 = 172 - 172 = 0$. Условие выполняется. Следовательно, первый корень уравнения $y_1 = -1$. Второй корень $y_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-172}{67} = \frac{172}{67}$.
Ответ: $y_1 = -1, y_2 = \frac{172}{67}$.

8.4. 1) $x^2 - (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0;$ 2) $x^2 - (\sqrt{2} - 2)x - 2\sqrt{2} = 0;$

3) $x^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})x - \sqrt{6} = 0;$ 4) $x^2 - (2\sqrt{3} + 1)x + 2\sqrt{3} = 0.$

1) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для таких уравнений удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

В данном случае:

$x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{3} + 1)) = \sqrt{3} + 1$

$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{3}$

Методом подбора легко определить, что корнями являются числа $\sqrt{3}$ и $1$.

Проверим:

Сумма: $\sqrt{3} + 1$.

Произведение: $\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Условия выполняются, следовательно, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{2} - 2)x - 2\sqrt{2} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Применим теорему Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{2} - 2)) = \sqrt{2} - 2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2\sqrt{2}$.

Подберем корни, исходя из их произведения. Заметим, что $-2\sqrt{2}$ можно представить как произведение чисел $\sqrt{2}$ и $-2$.

Проверим их сумму: $\sqrt{2} + (-2) = \sqrt{2} - 2$. Сумма совпадает с требуемой.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = \sqrt{2}$.

3) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})x - \sqrt{6} = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{3} - \sqrt{2})) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{6}$.

Произведение корней $-\sqrt{6}$ можно разложить на множители как $\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{2})$, так как $\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{2}$.

Проверим сумму этих множителей: $\sqrt{3} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Это значение совпадает с требуемой суммой корней.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{3}$.

4) Решим уравнение $x^2 - (2\sqrt{3} + 1)x + 2\sqrt{3} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2\sqrt{3} + 1)) = 2\sqrt{3} + 1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2\sqrt{3}$.

Как и в первом задании, легко подобрать корни. Это числа $2\sqrt{3}$ и $1$.

Проверим их:

Сумма: $2\sqrt{3} + 1$.

Произведение: $2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$.

Условия теоремы Виета выполняются, значит, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2\sqrt{3}$.

8.5. 1) $3y^2 + 7y - 5 = 3 \cdot \left(-\frac{11}{3}\right)^2 + 7 \cdot \left(-\frac{11}{3}\right) - 5;$

2) $4y^2 - 3y + 9 = 4 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 3 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 9.$

1) В данном задании требуется вычислить значение выражения $3y^2 + 7y - 5$ при $y = -\frac{11}{3}$. Правая часть равенства представляет собой подстановку этого значения в выражение. Выполним вычисления по порядку действий:
$3 \cdot \left(-\frac{11}{3}\right)^2 + 7 \cdot \left(-\frac{11}{3}\right) - 5$
Сначала возведем дробь в квадрат:$\left(-\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{(-11)^2}{3^2} = \frac{121}{9}$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и выполним умножение:$3 \cdot \frac{121}{9} + 7 \cdot \left(-\frac{11}{3}\right) - 5 = \frac{3 \cdot 121}{9} - \frac{7 \cdot 11}{3} - 5 = \frac{121}{3} - \frac{77}{3} - 5$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:$\frac{121 - 77}{3} - 5 = \frac{44}{3} - 5$
Приведем число 5 к знаменателю 3: $5 = \frac{15}{3}$.
Теперь выполним окончательное вычитание:$\frac{44}{3} - \frac{15}{3} = \frac{44-15}{3} = \frac{29}{3}$
При желании можно представить результат в виде смешанной дроби: $9\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{29}{3}$

2) Аналогично первому пункту, вычислим значение выражения $4y^2 - 3y + 9$ при $y = -\frac{7}{3}$.
$4 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 3 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 9$
Возводим в квадрат:$\left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{(-7)^2}{3^2} = \frac{49}{9}$
Подставляем и выполняем умножение:$4 \cdot \frac{49}{9} - 3 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 9 = \frac{4 \cdot 49}{9} + \frac{3 \cdot 7}{3} + 9 = \frac{196}{9} + 7 + 9$
Выполним сложение целых чисел:$7 + 9 = 16$
Теперь сложим дробь и полученное число:$\frac{196}{9} + 16$
Приведем число 16 к знаменателю 9: $16 = \frac{16 \cdot 9}{9} = \frac{144}{9}$.
Сложим дроби:$\frac{196}{9} + \frac{144}{9} = \frac{196+144}{9} = \frac{340}{9}$
При желании можно представить результат в виде смешанной дроби: $37\frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{340}{9}$

Составьте квадратные уравнения с корнями (8.6–8.8):

8.6. 1) -5 и -2;

2) -7 и 2;

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

4) -5,4 и 8;

5) 1,2 и 4,5;

6) 5 и 23,2.

1) Чтобы составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Искомое уравнение будет иметь вид $x^2 + px + q = 0$, где $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -5 + (-2) = -7$.
Следовательно, коэффициент $p = -(-7) = 7$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10$.
Следовательно, коэффициент $q = 10$.
Подставив эти значения, получим искомое уравнение: $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Ответ: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

2) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$. Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (-5)x + (-14) = 0$
$x^2 + 5x - 14 = 0$.
Ответ: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

3) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 2\frac{2}{7}$ и $x_2 = 3$.
Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $x_1 = 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{16}{7} + 3 = \frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{37}{7}$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{7} \cdot 3 = \frac{48}{7}$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7} = 0$.
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 7:
$7x^2 - 37x + 48 = 0$.
Ответ: $7x^2 - 37x + 48 = 0$.

4) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -5,4$ и $x_2 = 8$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -5,4 + 8 = 2,6$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5,4 \cdot 8 = -43,2$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 2,6x - 43,2 = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 26x - 432 = 0$.
Все коэффициенты четные, поэтому можно сократить уравнение, разделив его на 2:
$5x^2 - 13x - 216 = 0$.
Ответ: $5x^2 - 13x - 216 = 0$.

5) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 1,2$ и $x_2 = 4,5$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 1,2 + 4,5 = 5,7$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1,2 \cdot 4,5 = 5,4$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 5,7x + 5,4 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 57x + 54 = 0$.
Ответ: $10x^2 - 57x + 54 = 0$.

6) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 5$ и $x_2 = 23,2$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 5 + 23,2 = 28,2$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 23,2 = 116$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 28,2x + 116 = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 282x + 1160 = 0$.
Разделим все коэффициенты на их общий делитель 2:
$5x^2 - 141x + 580 = 0$.
Ответ: $5x^2 - 141x + 580 = 0$.

8.7.

1) $\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{9}$;

2) $-3\frac{1}{4}$ и $-3\frac{1}{4}$;

3) $5\frac{4}{7}$ и $-5\frac{4}{7}$;

4) $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$.

1) Сравнить числа $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{4}{9} $.

В данном пункте представлены два одинаковых числа. Так как числа полностью совпадают, они равны между собой.

Ответ: $ \frac{4}{9} = \frac{4}{9} $.

2) Сравнить числа $ -3\frac{1}{4} $ и $ -3\frac{1}{4} $.

Эти два смешанных числа являются идентичными, включая их отрицательный знак. Следовательно, они равны.

Ответ: $ -3\frac{1}{4} = -3\frac{1}{4} $.

3) Сравнить числа $ 5\frac{4}{7} $ и $ -5\frac{4}{7} $.

Для сравнения этих двух чисел определим их знаки. Число $ 5\frac{4}{7} $ является положительным. Число $ -5\frac{4}{7} $ является отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Также стоит отметить, что эти числа являются противоположными, так как они имеют одинаковый модуль, но разные знаки. На числовой оси они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.

Ответ: $ 5\frac{4}{7} > -5\frac{4}{7} $.

4) Сравнить числа $ -\sqrt{7} $ и $ \sqrt{7} $.

Число $ \sqrt{7} $ является положительным, а число $ -\sqrt{7} $ — отрицательным. Согласно правилу сравнения действительных чисел, любое положительное число больше любого отрицательного. Эти числа также являются противоположными, так как их сумма равна нулю ($ \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0 $).

Ответ: $ \sqrt{7} > -\sqrt{7} $.

8.8. 1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$;

2) $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$;

3) $3 - \sqrt{7}$ и $2\sqrt{7}$;

4) $-1 - \sqrt{7}$ и $-1 + \sqrt{7}$.

1) Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей области своего определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поскольку $3 < 7$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{7}$. Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{7}$.

2) Сравним числа $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$. Число $-\sqrt{5}$ является отрицательным, так как $\sqrt{5} > 0$. Число $\sqrt{2}$ является положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $-\sqrt{5} < \sqrt{2}$. Ответ: $-\sqrt{5} < \sqrt{2}$.

3) Сравним числа $3 - \sqrt{7}$ и $2\sqrt{7}$. Определим знак первого числа. Для этого сравним $3$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, а значит $3 - \sqrt{7} > 0$. Число $2\sqrt{7}$ также является положительным. Сравним выражения, прибавив к обоим $\sqrt{7}$. Знак неравенства при этом не изменится. Сравниваем $3$ и $2\sqrt{7} + \sqrt{7}$, то есть $3$ и $3\sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то $\sqrt{7} > \sqrt{1} = 1$. Умножим обе части неравенства на 3: $3\sqrt{7} > 3$. Следовательно, $3 - \sqrt{7} < 2\sqrt{7}$. Ответ: $3 - \sqrt{7} < 2\sqrt{7}$.

4) Сравним числа $-1 - \sqrt{7}$ и $-1 + \sqrt{7}$. Прибавим к обоим числам 1. От этого знак неравенства не изменится. Получим числа для сравнения: $(-1 - \sqrt{7}) + 1 = -\sqrt{7}$ и $(-1 + \sqrt{7}) + 1 = \sqrt{7}$. Число $-\sqrt{7}$ является отрицательным, а число $\sqrt{7}$ — положительным. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, то $-\sqrt{7} < \sqrt{7}$. Следовательно, $-1 - \sqrt{7} < -1 + \sqrt{7}$. Ответ: $-1 - \sqrt{7} < -1 + \sqrt{7}$.

8.9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами так, чтобы один из его корней был равен:

1) $\sqrt{7}$;

2) $-\sqrt{7}$;

3) $1 + \sqrt{7}$;

4) $2 - \sqrt{3}$.

1) Если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень вида $p + \sqrt{q}$, то оно также должно иметь сопряженный корень $p - \sqrt{q}$. В данном случае дан корень $x_1 = \sqrt{7}$, который можно записать как $0 + \sqrt{7}$. Значит, второй корень уравнения $x_2 = 0 - \sqrt{7} = -\sqrt{7}$. По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$ коэффициенты будут рациональными, если сумма и произведение корней рациональны. Найдем сумму и произведение корней:
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -7$.
Искомое уравнение имеет вид $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляя найденные значения, получаем $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

2) Дан корень $x_1 = -\sqrt{7}$. Его сопряженным корнем является $x_2 = \sqrt{7}$. Это та же пара корней, что и в предыдущем пункте.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = -7$.
Квадратное уравнение составляется по формуле $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляя значения, получаем $x^2 - 0 \cdot x - 7 = 0$.
Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

3) Дан корень $x_1 = 1 + \sqrt{7}$. Сопряженным ему будет корень $x_2 = 1 - \sqrt{7}$. Найдем их сумму и произведение.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{7}) + (1 - \sqrt{7}) = 2$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 1^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 - 7 = -6$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляем найденные значения: $x^2 - 2x + (-6) = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

4) Дан корень $x_1 = 2 - \sqrt{3}$. Сопряженным ему будет корень $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. Найдем их сумму и произведение.
Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - Sx + P = 0$. Подставляем найденные значения: $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

8.10. При каких значениях параметра p уравнение $x^2 + px - 6 = 0$:

1) имеет один из корней, равный 2;

2) имеет действительные различные корни;

3) имеет два корня, равные по модулю, но противоположные по знаку?

1) имеет один из корней, равный 2;
Если один из корней уравнения равен 2, то это значение $x$ должно удовлетворять уравнению. Подставим $x=2$ в уравнение $x^2 + px - 6 = 0$:
$2^2 + p \cdot 2 - 6 = 0$
$4 + 2p - 6 = 0$
$2p - 2 = 0$
$2p = 2$
$p = 1$
Следовательно, при $p=1$ уравнение имеет корень, равный 2.
Ответ: $p=1$.

2) имеет действительные различные корни;
Квадратное уравнение имеет два действительных различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Для данного уравнения $x^2 + px - 6 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=p$, $c=-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = p^2 + 24$
Для наличия двух различных действительных корней должно выполняться неравенство:
$p^2 + 24 > 0$
Выражение $p^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $p$ ($p^2 \ge 0$). Поэтому сумма $p^2 + 24$ всегда будет больше или равна 24, и, следовательно, всегда строго больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного значения $p$.
Ответ: $p$ — любое действительное число.

3) имеет два корня, равные по модулю, но противоположные по знаку?
Если корни уравнения $x_1$ и $x_2$ равны по модулю, но противоположны по знаку, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.
По теореме Виета для уравнения $x^2 + px - 6 = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 = -p$
Приравнивая два выражения для суммы корней, получаем:
$-p = 0$
$p = 0$
При $p=0$ уравнение принимает вид $x^2 - 6 = 0$, откуда $x^2 = 6$, и корни $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$. Эти корни действительно равны по модулю и противоположны по знаку. Значит, условие выполняется.
Ответ: $p=0$.

8.11. Один из корней уравнения $2x^2 + x + c = 0$ равен 7,5. Найдите $c$.

8.11. Дано квадратное уравнение $2x^2 + x + c = 0$. По условию, один из его корней равен 7,5. Чтобы найти неизвестный коэффициент $c$, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Прямая подстановка
По определению, корень уравнения – это значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Подставим известный корень $x = 7,5$ в исходное уравнение:
$2 \cdot (7,5)^2 + 7,5 + c = 0$
Теперь решим это уравнение относительно $c$. Сначала вычислим квадрат числа:
$(7,5)^2 = 56,25$
Подставим это значение обратно:
$2 \cdot 56,25 + 7,5 + c = 0$
$112,5 + 7,5 + c = 0$
$120 + c = 0$
Отсюда выражаем $c$:
$c = -120$

Способ 2: Использование теоремы Виета
Для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении $2x^2 + x + c = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=1$. Один из корней, по условию, $x_1 = 7,5$.
Используя формулу для суммы корней, найдем второй корень $x_2$:
$7,5 + x_2 = -\frac{1}{2}$
$x_2 = -0,5 - 7,5$
$x_2 = -8$
Теперь, зная оба корня, мы можем найти $c$ с помощью формулы для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$7,5 \cdot (-8) = \frac{c}{2}$
$-60 = \frac{c}{2}$
Отсюда находим $c$:
$c = -60 \cdot 2 = -120$
Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -120.

8.12. Один из корней уравнения $49x^2 - 4x + c = 0$ в 3 раза больше другого. Найдите $c$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $49x^2 - 4x + c = 0$.

По условию задачи, один корень в 3 раза больше другого. Примем, что $x_2 = 3x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = d/a$

В нашем уравнении $49x^2 - 4x + c = 0$ коэффициенты равны: $a = 49$, $b = -4$, а свободный член обозначен как $c$.

Применим теорему Виета к нашему случаю:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4)/49 = 4/49$

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/49$

Мы получили систему уравнений, используя также условие $x_2 = 3x_1$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4/49 \\ x_2 = 3x_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:

$x_1 + 3x_1 = 4/49$

$4x_1 = 4/49$

$x_1 = 1/49$

Теперь найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = 3 \cdot x_1 = 3 \cdot (1/49) = 3/49$

Зная оба корня, мы можем найти $c$ из формулы для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = c/49$

Подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$:

$(1/49) \cdot (3/49) = c/49$

$3/(49^2) = c/49$

Чтобы найти $c$, умножим обе части равенства на 49:

$c = (3/49^2) \cdot 49$

$c = 3/49$

Ответ: $c = 3/49$.