Номер 8.10, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.10. При каких значениях параметра p уравнение $x^2 + px - 6 = 0$:

1) имеет один из корней, равный 2;

2) имеет действительные различные корни;

3) имеет два корня, равные по модулю, но противоположные по знаку?

1) имеет один из корней, равный 2;
Если один из корней уравнения равен 2, то это значение $x$ должно удовлетворять уравнению. Подставим $x=2$ в уравнение $x^2 + px - 6 = 0$:
$2^2 + p \cdot 2 - 6 = 0$
$4 + 2p - 6 = 0$
$2p - 2 = 0$
$2p = 2$
$p = 1$
Следовательно, при $p=1$ уравнение имеет корень, равный 2.
Ответ: $p=1$.

2) имеет действительные различные корни;
Квадратное уравнение имеет два действительных различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Для данного уравнения $x^2 + px - 6 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=p$, $c=-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = p^2 + 24$
Для наличия двух различных действительных корней должно выполняться неравенство:
$p^2 + 24 > 0$
Выражение $p^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $p$ ($p^2 \ge 0$). Поэтому сумма $p^2 + 24$ всегда будет больше или равна 24, и, следовательно, всегда строго больше нуля. Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного значения $p$.
Ответ: $p$ — любое действительное число.

3) имеет два корня, равные по модулю, но противоположные по знаку?
Если корни уравнения $x_1$ и $x_2$ равны по модулю, но противоположны по знаку, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.
По теореме Виета для уравнения $x^2 + px - 6 = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 = -p$
Приравнивая два выражения для суммы корней, получаем:
$-p = 0$
$p = 0$
При $p=0$ уравнение принимает вид $x^2 - 6 = 0$, откуда $x^2 = 6$, и корни $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$. Эти корни действительно равны по модулю и противоположны по знаку. Значит, условие выполняется.
Ответ: $p=0$.