Страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.39. При каких значениях параметра p уравнения $x^2 + (p^2 + 5p + 6)x = 0$ и $x^2 + 2(p + 3) x + (p^2 - p - 12) = 0$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + (p^2 + 5p + 6)x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + p^2 + 5p + 6) = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p^2 + 5p + 6)$.
Множество корней первого уравнения: $S_1 = \{0, -(p^2 + 5p + 6)\}$.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + 2(p + 3)x + (p^2 - p - 12) = 0$.
Пусть его корни $x_3$ и $x_4$. Для того чтобы уравнения были равносильны, множества их корней должны быть равны, $S_1 = S_2$.

Если два приведенных квадратных уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) имеют одинаковые множества корней, то их суммы корней и произведения корней должны быть соответственно равны. Это следует из теоремы Виета.

Сумма и произведение корней для первого уравнения:
Сумма: $x_1 + x_2 = 0 + (-(p^2 + 5p + 6)) = -(p^2 + 5p + 6)$.
Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot (-(p^2 + 5p + 6)) = 0$.

Сумма и произведение корней для второго уравнения (по теореме Виета):
Сумма: $x_3 + x_4 = -2(p+3)$.
Произведение: $x_3 \cdot x_4 = p^2 - p - 12$.

Приравнивая суммы и произведения корней, получаем систему уравнений относительно параметра $p$:
$ \begin{cases} -(p^2 + 5p + 6) = -2(p+3) \\ 0 = p^2 - p - 12 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$p^2 - p - 12 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $p_1 = 4$ и $p_2 = -3$.

Теперь подставим найденные значения $p$ в первое уравнение системы, чтобы проверить, удовлетворяют ли они ему.

1. Проверка для $p = 4$:
$-((4)^2 + 5 \cdot 4 + 6) = -2(4+3)$
$-(16 + 20 + 6) = -2(7)$
$-42 = -14$
Равенство неверное, следовательно, $p = 4$ не является решением.

2. Проверка для $p = -3$:
$-((-3)^2 + 5 \cdot (-3) + 6) = -2(-3+3)$
$-(9 - 15 + 6) = -2(0)$
$-0 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, $p = -3$ является решением.

Единственное значение параметра, при котором уравнения равносильны, это $p = -3$.

Ответ: $p = -3$.

8.40. При каких значениях параметра p уравнения $x^2 + (p^2 - p - 6)x = 0$ и $x^2 + 2(p - 3)x + (p^2 - 7p + 12) = 0$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их действительных корней совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + (p^2 - p - 6)x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + p^2 - p - 6) = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p^2 - p - 6)$.

Разложим на множители выражение $p^2 - p - 6$. Корни уравнения $p^2 - p - 6 = 0$ равны $p = 3$ и $p = -2$. Следовательно, $p^2 - p - 6 = (p-3)(p+2)$.

Таким образом, корни первого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -(p-3)(p+2)$.

Множество корней первого уравнения $S_1 = \{0, -(p-3)(p+2)\}$. Заметим, что при $p=3$ или $p=-2$ уравнение имеет один корень $x=0$. В остальных случаях уравнение имеет два различных корня.

Рассмотрим второе уравнение: $x^2 + 2(p - 3)x + (p^2 - 7p + 12) = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Разложим на множители свободный член $p^2 - 7p + 12$. Корни уравнения $p^2 - 7p + 12 = 0$ равны $p=3$ и $p=4$. Следовательно, $p^2 - 7p + 12 = (p-3)(p-4)$.

Уравнение принимает вид: $x^2 + 2(p - 3)x + (p-3)(p-4) = 0$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (2(p-3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p-3)(p-4) = 4(p-3)^2 - 4(p-3)(p-4) = 4(p-3)[(p-3)-(p-4)] = 4(p-3)(p-3-p+4) = 4(p-3)$.

Уравнение имеет действительные корни при условии $D \ge 0$, то есть $4(p-3) \ge 0$, что равносильно $p \ge 3$.

Если $p < 3$, второе уравнение не имеет действительных корней, и множество его решений пусто ($S_2 = \emptyset$). В то же время первое уравнение всегда имеет как минимум один корень $x=0$. Следовательно, при $p < 3$ уравнения не равносильны.

Рассмотрим значения $p \ge 3$. Корни второго уравнения находятся по формуле: $x = \frac{-2(p-3) \pm \sqrt{4(p-3)}}{2} = -(p-3) \pm \sqrt{p-3}$.

Множество корней второго уравнения $S_2 = \{-(p-3) - \sqrt{p-3}, -(p-3) + \sqrt{p-3}\}$.

Для равносильности уравнений необходимо, чтобы множества их корней совпадали: $S_1 = S_2$.

Проанализируем два случая для $p \ge 3$.

Случай 1: $p=3$.

Для первого уравнения: $S_1 = \{0, -(3-3)(3+2)\} = \{0\}$. Уравнение имеет один корень.

Для второго уравнения: $S_2 = \{-(3-3) \pm \sqrt{3-3}\} = \{0\}$. Уравнение также имеет один корень.

Поскольку $S_1 = S_2 = \{0\}$, при $p=3$ уравнения равносильны.

Случай 2: $p>3$.

В этом случае $p-3>0$ и $p+2>0$, поэтому $-(p-3)(p+2) \neq 0$. Первое уравнение имеет два различных корня: $S_1 = \{0, -(p-3)(p+2)\}$.

Дискриминант второго уравнения $D=4(p-3)>0$, поэтому оно также имеет два различных корня: $S_2 = \{-(p-3) - \sqrt{p-3}, -(p-3) + \sqrt{p-3}\}$.

Для равенства множеств $S_1=S_2$, один из корней второго уравнения должен быть равен нулю, так как $0 \in S_1$.

Произведение корней второго уравнения равно свободному члену $(p-3)(p-4)$. Если один из корней равен нулю, то их произведение равно нулю. Отсюда $(p-3)(p-4) = 0$.

Так как мы рассматриваем случай $p>3$, единственным возможным значением является $p=4$.

Проверим, равносильны ли уравнения при $p=4$.

При $p=4$ множество корней первого уравнения: $S_1 = \{0, -(4-3)(4+2)\} = \{0, -6\}$.

При $p=4$ множество корней второго уравнения: $S_2 = \{-(4-3) \pm \sqrt{4-3}\} = \{-1 \pm 1\}$. Корни равны $x=-1+1=0$ и $x=-1-1=-2$. Таким образом, $S_2 = \{0, -2\}$.

Множества $S_1 = \{0, -6\}$ и $S_2 = \{0, -2\}$ не совпадают. Следовательно, $p=4$ не является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $p$, при котором данные уравнения равносильны, — это $p=3$.

Ответ: $p=3$.

8.41. Найдите $p$, если известно, что $x_1$ и $x_2$ корни уравнения $5x^2 - 18x + p = 0$, причем $2x_1 + 5x_2 = 12$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 - 18x + p = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что корни связаны соотношением $2x_1 + 5x_2 = 12$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-18$, $c=p$.

Применим теорему Виета к данному уравнению:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{5}$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{18}{5} \\ 2x_1 + 5x_2 = 12 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = \frac{18}{5} - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(\frac{18}{5} - x_2) + 5x_2 = 12$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_2$:

$\frac{36}{5} - 2x_2 + 5x_2 = 12$

$3x_2 = 12 - \frac{36}{5}$

$3x_2 = \frac{60}{5} - \frac{36}{5}$

$3x_2 = \frac{24}{5}$

$x_2 = \frac{24}{5 \cdot 3} = \frac{8}{5}$

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = \frac{18}{5} - x_2 = \frac{18}{5} - \frac{8}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Мы нашли корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=\frac{8}{5}$.

Чтобы найти параметр $p$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{5}$

Подставим найденные значения корней в это выражение:

$2 \cdot \frac{8}{5} = \frac{p}{5}$

$\frac{16}{5} = \frac{p}{5}$

Отсюда следует, что $p = 16$.

Ответ: 16.

8.42. Известно, что $x_1$ и $x_2$ корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

1) $x_1 + 3$ и $x_2 + 3$;

2) $4x_1$ и $4x_2$;

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Новое квадратное уравнение, корнями которого являются $y_1$ и $y_2$, можно составить, используя теорему, обратную теореме Виета. Если мы найдем сумму $y_1 + y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$ новых корней, то уравнение будет иметь вид:

$y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$

1) $x_1 + 3$ и $x_2 + 3$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 + 3$ и $y_2 = x_2 + 3$. Найдем их сумму и произведение, выразив их через коэффициенты $p$ и $q$.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$

Подставляя $x_1 + x_2 = -p$, получаем:

$y_1 + y_2 = -p + 6$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$

Подставляя $x_1x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$, получаем:

$y_1 \cdot y_2 = q + 3(-p) + 9 = q - 3p + 9$

Теперь подставим найденные сумму и произведение в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (-p + 6)y + (q - 3p + 9) = 0$

$y^2 + (p - 6)y + q - 3p + 9 = 0$

Ответ: $y^2 + (p - 6)y + q - 3p + 9 = 0$.

2) $4x_1$ и $4x_2$

Пусть новые корни $y_1 = 4x_1$ и $y_2 = 4x_2$. Найдем их сумму и произведение.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = 4x_1 + 4x_2 = 4(x_1 + x_2) = 4(-p) = -4p$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (4x_1)(4x_2) = 16x_1x_2 = 16q$

Подставим найденные значения в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (-4p)y + 16q = 0$

$y^2 + 4py + 16q = 0$

Ответ: $y^2 + 4py + 16q = 0$.

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$. Данное преобразование возможно только если исходные корни не равны нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это означает, что их произведение $x_1x_2 = q \neq 0$.

Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{-p}{q}$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{q}$

Подставим найденные значения в общую формулу квадратного уравнения:

$y^2 - (\frac{-p}{q})y + \frac{1}{q} = 0$

$y^2 + \frac{p}{q}y + \frac{1}{q} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на $q$ (мы можем это сделать, так как $q \neq 0$):

$q(y^2 + \frac{p}{q}y + \frac{1}{q}) = q \cdot 0$

$qy^2 + py + 1 = 0$

Ответ: $qy^2 + py + 1 = 0$.

8.43. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} \right) \cdot \left( \frac{a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{2}{1 - a} \right); $

2) $ \left( \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} + \frac{1}{2 - a} \right) \cdot \left( \frac{a^2}{a^2 - 4} + \frac{2}{a - 2} \right); $

3) $ \frac{4x - 2y}{y} - \frac{5x - 2y}{2x + y}; $

4) $ \frac{4x^2 - 3xy}{x^2 - 2xy} \cdot \frac{-x + 2y}{4x - 3y} - 3. $

1) Упростим выражение по действиям.
1. Выполним вычитание в первых скобках. Общий знаменатель $a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4)$.
$\frac{a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} = \frac{a(a-2) - 1(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2 - 2a - a^2 - 2a - 4}{a^3-8} = \frac{-4a - 4}{a^3-8} = \frac{-4(a+1)}{a^3-8}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Заметим, что $1-a = -(a-1)$.
$\frac{a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{2}{1 - a} = \frac{a^2 + 2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{a-1} = \frac{a^2+2+2(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)}$.
3. Перемножим полученные результаты.
$\frac{-4(a+1)}{a^3 - 8} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)} = \frac{-4(a+1)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)}$.
Сокращая общие множители $(a+1)$ и $(a^2+2a+4)$, получаем:
$\frac{-4}{a-2} = \frac{4}{2-a}$.
Ответ: $\frac{4}{2-a}$.

2) Упростим выражение по действиям.
1. Преобразуем выражение в первых скобках. Общий знаменатель $a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4)$. Учтем, что $2-a = -(a-2)$.
$\frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} + \frac{1}{2 - a} = \frac{a(a-2) + (a^2+8) - 1(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-2a+a^2+8-a^2-2a-4}{a^3-8} = \frac{a^2-4a+4}{a^3-8}$.
Числитель $a^2-4a+4 = (a-2)^2$, поэтому дробь можно сократить:
$\frac{(a-2)^2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a-2}{a^2+2a+4}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
$\frac{a^2}{a^2 - 4} + \frac{2}{a - 2} = \frac{a^2 + 2(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a+2)}$.
3. Перемножим полученные выражения.
$\frac{a-2}{a^2+2a+4} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a+2)}$.
Сокращая общие множители $(a-2)$ и $(a^2+2a+4)$, получаем:
$\frac{1}{a+2}$.
Ответ: $\frac{1}{a+2}$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $y(2x+y)$ и выполним вычитание.
$\frac{4x - 2y}{y} - \frac{5x - 2y}{2x + y} = \frac{(4x - 2y)(2x + y) - y(5x - 2y)}{y(2x + y)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(4x - 2y)(2x + y) = 8x^2 + 4xy - 4xy - 2y^2 = 8x^2 - 2y^2$.
$y(5x - 2y) = 5xy - 2y^2$.
Подставим обратно в числитель:
$8x^2 - 2y^2 - (5xy - 2y^2) = 8x^2 - 2y^2 - 5xy + 2y^2 = 8x^2 - 5xy$.
В числителе можно вынести общий множитель $x$ за скобки: $x(8x - 5y)$.
Итоговое выражение:
$\frac{x(8x-5y)}{y(2x+y)}$.
Ответ: $\frac{x(8x - 5y)}{y(2x + y)}$.

4) Решим выражение по действиям.
1. Сначала выполним умножение, предварительно разложив числители и знаменатели дробей на множители.
$\frac{4x^2 - 3xy}{x^2 - 2xy} \cdot \frac{-x + 2y}{4x - 3y} = \frac{x(4x - 3y)}{x(x - 2y)} \cdot \frac{-(x - 2y)}{4x - 3y}$.
Сократим общие множители $x$, $(4x-3y)$ и $(x-2y)$:
$\frac{\cancel{x}(\cancel{4x-3y})}{\cancel{x}(\cancel{x-2y})} \cdot \frac{-(\cancel{x-2y})}{(\cancel{4x-3y})} = -1$.
2. Теперь выполним вычитание.
$-1 - 3 = -4$.
Ответ: $-4$.