Номер 8.38, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.38. Известно, что корни уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ равны соответственно квадратам корней уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$. Найдите $a$ и $b$ и корни каждого из уравнений.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$. Согласно условию задачи, корнями уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ являются $x_1^2$ и $x_2^2$. Для решения задачи применим теорему Виета к обоим уравнениям.

Для уравнения $x^2 + ax + 6 = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -a$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$

Для уравнения $x^2 - 13x + b = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1^2 + x_2^2 = -(-13) = 13$
Произведение корней: $x_1^2 \cdot x_2^2 = b$

Найдите a и b
Сначала найдем значение $b$. Из соотношения для второго уравнения имеем $b = x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1 \cdot x_2)^2$. Используя соотношение для первого уравнения $x_1 \cdot x_2 = 6$, получаем:
$b = 6^2 = 36$.
Теперь найдем значение $a$. Воспользуемся алгебраическим тождеством $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Выразим из него сумму квадратов: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим известные нам значения из теоремы Виета:
$13 = (-a)^2 - 2 \cdot 6$
$13 = a^2 - 12$
$a^2 = 25$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 5$ или $a = -5$.
Ответ: $b = 36$; $a = 5$ или $a = -5$.

Найдите корни каждого из уравнений
Поскольку для $a$ существует два возможных значения, рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: $a = 5$ и $b = 36$.
Первое уравнение: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Его корни, согласно теореме Виета, в сумме дают $-5$, а в произведении $6$. Это числа $-2$ и $-3$.
Второе уравнение: $x^2 - 13x + 36 = 0$.
Его корни являются квадратами корней первого уравнения: $(-2)^2 = 4$ и $(-3)^2 = 9$.
Случай 2: $a = -5$ и $b = 36$.
Первое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Его корни, согласно теореме Виета, в сумме дают $5$, а в произведении $6$. Это числа $2$ и $3$.
Второе уравнение: $x^2 - 13x + 36 = 0$.
Его корни являются квадратами корней первого уравнения: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Ответ: Существует два набора решений.
1. При $a=5$ и $b=36$: корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ равны $-2$ и $-3$; корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$ равны $4$ и $9$.
2. При $a=-5$ и $b=36$: корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ равны $2$ и $3$; корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$ равны $4$ и $9$.