Номер 9.1, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.1. Какие из чисел -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 7; $2 - \sqrt{5}$; $-3 + \sqrt{7}$ являются корнями квадратного трехчлена:

1) $x^2 - 2x - 8$;

2) $x^2 - 4x$;

3) $x^2 - 4x - 1$;

4) $x^2 + 6x + 2$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями квадратного трехчлена, нужно для каждого трехчлена найти его корни и проверить, есть ли они в заданном списке чисел: $-2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 2 - \sqrt{5}; -3 + \sqrt{7}$.

1) $x^2 - 2x - 8$

Найдем корни данного трехчлена, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$.

Из предложенного списка чисел подходят $-2$ и $4$, так как:

$(-2) + 4 = 2$

$(-2) \cdot 4 = -8$

Другой способ — через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

Оба числа, $-2$ и $4$, присутствуют в заданном списке.

Ответ: $-2; 4$.

2) $x^2 - 4x$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Сравниваем полученные корни со списком чисел. В списке есть число $4$, но нет числа $0$.

Следовательно, только одно число из списка является корнем данного трехчлена.

Ответ: $4$.

3) $x^2 - 4x - 1$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни уравнения: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{5}$.

Из этих двух корней в предложенном списке есть только $2 - \sqrt{5}$.

Ответ: $2 - \sqrt{5}$.

4) $x^2 + 6x + 2$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 + 6x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.

Корни уравнения: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7}$.

Получаем два корня: $x_1 = -3 + \sqrt{7}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{7}$.

Из этих двух корней в предложенном списке есть только $-3 + \sqrt{7}$.

Ответ: $-3 + \sqrt{7}$.