Номер 7.34, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.34.

1) Найдите отношение двух положительных чисел, если отношение их среднего геометрического к среднему арифметическому равно 0,6.

2) Найдите отношение двух положительных чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 2.

1)

Пусть два искомых положительных числа — это $a$ и $b$.

Среднее арифметическое этих чисел равно $M_A = \frac{a+b}{2}$.

Среднее геометрическое этих чисел равно $M_G = \sqrt{ab}$.

Согласно условию задачи, отношение их среднего геометрического к среднему арифметическому равно 0,6. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{M_G}{M_A} = \frac{\sqrt{ab}}{\frac{a+b}{2}} = 0,6$

Упростим выражение:

$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = 0,6$

Нам нужно найти отношение $\frac{a}{b}$. Обозначим это отношение как $x$, то есть $x = \frac{a}{b}$. Чтобы выразить уравнение через $x$, разделим числитель и знаменатель левой части на $b$ (поскольку $b>0$, это допустимо):

$\frac{2\sqrt{ab}/b}{(a+b)/b} = \frac{2\sqrt{a/b}}{(a/b)+1} = \frac{2\sqrt{x}}{x+1}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{2\sqrt{x}}{x+1} = 0,6$

Для решения этого уравнения введем замену $y = \sqrt{x}$. Так как $a$ и $b$ положительные, то $x>0$ и, следовательно, $y>0$.

$\frac{2y}{y^2+1} = 0,6$

Преобразуем уравнение:

$2y = 0,6(y^2+1)$

$0,6y^2 - 2y + 0,6 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10 и разделим на 2:

$6y^2 - 20y + 6 = 0$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

$y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Находим два корня для $y$:

$y_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны, что соответствует нашему условию $y>0$. Теперь вернемся к переменной $x$, зная, что $x=y^2$:

$x_1 = 3^2 = 9$

$x_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$

Таким образом, отношение двух чисел может быть равно 9 или $\frac{1}{9}$. Эти два значения являются взаимно обратными и соответствуют отношениям $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$.

Ответ: 9 или $\frac{1}{9}$.

2)

Пусть два искомых положительных числа — это $a$ и $b$.

Их среднее арифметическое $M_A = \frac{a+b}{2}$, а среднее геометрическое $M_G = \sqrt{ab}$.

По условию, отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 2:

$\frac{M_A}{M_G} = \frac{\frac{a+b}{2}}{\sqrt{ab}} = 2$

Упростим выражение:

$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = 2$

Как и в предыдущем пункте, обозначим искомое отношение $x = \frac{a}{b}$. Разделим числитель и знаменатель на $b$:

$\frac{(a/b)+1}{2\sqrt{a/b}} = \frac{x+1}{2\sqrt{x}}$

Получаем уравнение:

$\frac{x+1}{2\sqrt{x}} = 2$

Сделаем замену $y = \sqrt{x}$ (где $y>0$):

$\frac{y^2+1}{2y} = 2$

Преобразуем уравнение:

$y^2+1 = 4y$

$y^2 - 4y + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Находим два корня для $y$:

$y_1 = 2 + \sqrt{3}$

$y_2 = 2 - \sqrt{3}$

Оба корня положительны (так как $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$). Возвращаемся к переменной $x=y^2$:

$x_1 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$x_2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

Полученные значения являются искомыми отношениями чисел.

Ответ: $7 + 4\sqrt{3}$ или $7 - 4\sqrt{3}$.