Номер 7.40, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.40. Решите уравнение и найдите сумму и произведение его корней:

1) $7x^2 - 8x + 1 = 0;$

2) $x^2 + 11x - 12 = 0;$

3) $-2x^2 + 7x + 9 = 0.$

Для решения каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ мы сначала найдем его корни, а затем вычислим их сумму и произведение. Для нахождения корней будем использовать формулу корней через дискриминант, а для нахождения суммы и произведения — теорему Виета в качестве основного способа или проверки.

1) $7x^2 - 8x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=-8$, $c=1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-8) - 6}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.

Корни уравнения: $1$ и $\frac{1}{7}$.

Теперь найдем сумму и произведение корней. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{7}$.

Проверка: $1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1 \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

Ответ: корни уравнения $1$ и $\frac{1}{7}$; сумма корней $\frac{8}{7}$; произведение корней $\frac{1}{7}$.

2) $x^2 + 11x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$) с коэффициентами $a=1$, $b=11$, $c=-12$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$.

Корни уравнения: $1$ и $-12$.

Для приведенного квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -11$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = -12$.

Проверка: $1 + (-12) = -11$; $1 \cdot (-12) = -12$.

Ответ: корни уравнения $1$ и $-12$; сумма корней $-11$; произведение корней $-12$.

3) $-2x^2 + 7x + 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=-2$, $b=7$, $c=9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 9 = 49 + 72 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$.

$x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{-18}{-4} = \frac{9}{2}$.

Корни уравнения: $-1$ и $\frac{9}{2}$.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{-2} = \frac{7}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{-2} = -\frac{9}{2}$.

Проверка: $-1 + \frac{9}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{9}{2} = \frac{7}{2}$; $-1 \cdot \frac{9}{2} = -\frac{9}{2}$.

Ответ: корни уравнения $-1$ и $\frac{9}{2}$; сумма корней $\frac{7}{2}$; произведение корней $-\frac{9}{2}$.