Номер 7.18, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.18. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $y (5y + 4) = 5y + 4;$

2) $y (3y - 8) = (8 - 3y)^2;$

3) $\frac{y^2}{3} - 9 = -2y;$

4) $\frac{y^2 - 10}{3} = -y?$

1) Решим уравнение $y(5y + 4) = 5y + 4$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$y(5y + 4) - (5y + 4) = 0$
Теперь можно вынести общий множитель $(5y + 4)$ за скобки:
$(y - 1)(5y + 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $y - 1 = 0 \implies y = 1$
2) $5y + 4 = 0 \implies 5y = -4 \implies y = -4/5 = -0.8$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $y_1 = 1$, $y_2 = -0.8$.

2) Решим уравнение $y(3y - 8) = (8 - 3y)^2$.
Заметим, что выражение в скобках в левой части, $3y - 8$, является противоположным выражению в скобках в правой части, $8 - 3y$. То есть, $3y - 8 = -(8 - 3y)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$y \cdot (-(8 - 3y)) = (8 - 3y)^2$
$-y(8 - 3y) = (8 - 3y)^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$(8 - 3y)^2 + y(8 - 3y) = 0$
Вынесем общий множитель $(8 - 3y)$ за скобки:
$(8 - 3y)((8 - 3y) + y) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(8 - 3y)(8 - 2y) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $8 - 3y = 0 \implies 3y = 8 \implies y = 8/3$
2) $8 - 2y = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
Ответ: $y_1 = 4$, $y_2 = 8/3$.

3) Решим уравнение $\frac{y^2}{3} - 9 = -2y$.
Для начала избавимся от дроби, умножив все члены уравнения на 3:
$3 \cdot \frac{y^2}{3} - 3 \cdot 9 = 3 \cdot (-2y)$
$y^2 - 27 = -6y$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2+by+c=0$:
$y^2 + 6y - 27 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=6, c=-27$
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$
Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-6 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{-6 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: $y_1 = 3$, $y_2 = -9$.

4) Решим уравнение $\frac{y^2 - 10}{3} = -y$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$y^2 - 10 = -3y$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 3y - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать по теореме Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно $c=-10$, а сумма равна $-b=-3$. Эти числа 2 и -5, так как $2 \cdot (-5) = -10$ и $2 + (-5) = -3$.
Либо решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=3, c=-10$
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -5$.