Номер 7.15, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (7.15–7.16):

7.15. 1) $(2y - 3) \cdot (5y + 1) = 2y + \frac{2}{5}$;

2) $-y \cdot (y + 7) = (2 + y) \cdot (y - 2)$;

3) $(3y - 1) \cdot (y + 3) = y(6y + 1)$;

4) $(y + 1) \cdot (y - 1) = 2(5y + 10,5)$.

1) $(2y - 3) \cdot (5y + 1) = 2y + \frac{2}{5}$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$10y^2 + 2y - 15y - 3 = 2y + \frac{2}{5}$
Приведем подобные слагаемые:
$10y^2 - 13y - 3 = 2y + \frac{2}{5}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$10y^2 - 13y - 2y - 3 - \frac{2}{5} = 0$
$10y^2 - 15y - (3 + \frac{2}{5}) = 0$
$10y^2 - 15y - \frac{17}{5} = 0$
Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
$50y^2 - 75y - 17 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$
$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$
Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{75 + 95}{2 \cdot 50} = \frac{170}{100} = 1,7$
$y_2 = \frac{75 - 95}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$
Ответ: $y_1 = 1,7$; $y_2 = -0,2$.

2) $-y \cdot (y + 7) = (2 + y) \cdot (y - 2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$-y^2 - 7y = y^2 - 4$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = y^2 + y^2 + 7y - 4$
$2y^2 + 7y - 4 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
$y_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$
Ответ: $y_1 = 0,5$; $y_2 = -4$.

3) $(3y - 1) \cdot (y + 3) = y(6y + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3y^2 + 9y - y - 3 = 6y^2 + y$
$3y^2 + 8y - 3 = 6y^2 + y$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 6y^2 - 3y^2 + y - 8y + 3$
$3y^2 - 7y + 3 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения:
$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$
$y_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$
$y_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$
Ответ: $y_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$; $y_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

4) $(y + 1) \cdot (y - 1) = 2(5y + 10,5)$
Раскроем скобки. В левой части используем формулу разности квадратов:
$y^2 - 1^2 = 10y + 2 \cdot 10,5$
$y^2 - 1 = 10y + 21$
Перенесем все члены в левую часть:
$y^2 - 10y - 1 - 21 = 0$
$y^2 - 10y - 22 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 100 + 88 = 188$
Найдем корни уравнения. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{188} = \sqrt{4 \cdot 47} = 2\sqrt{47}$.
$y = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{47}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2\sqrt{47}}{2} = \frac{2(5 \pm \sqrt{47})}{2} = 5 \pm \sqrt{47}$
$y_1 = 5 + \sqrt{47}$
$y_2 = 5 - \sqrt{47}$
Ответ: $y_1 = 5 + \sqrt{47}$; $y_2 = 5 - \sqrt{47}$.