Номер 7.10, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.10. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ (когда второй коэффициент уравнения — четное число), найдите корни уравнения:

1) $3x^2 - 14x + 16 = 0$;

2) $4x^2 - 36x + 77 = 0$;

3) $5x^2 - 16x + 3 = 0$;

4) $7y^2 - 20y + 14 = 0$.

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является четным числом (т.е. $b = 2k$), можно использовать упрощенную формулу для нахождения корней. Эта формула выводится из стандартной и имеет вид:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

Применим эту формулу для решения каждого из данных уравнений.

1) $3x^2 - 14x + 16 = 0$

Здесь коэффициенты $a = 3$, $b = -14$, $c = 16$.

Поскольку второй коэффициент $b = -14$ — четное число, находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Теперь подставим значения $a, c$ и $k$ в формулу:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 3 \cdot 16}}{3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{3} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{3} = \frac{7 \pm 1}{3}$.

Отсюда находим два корня:

$x_1 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3}$

$x_2 = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

2) $4x^2 - 36x + 77 = 0$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -36$, $c = 77$.

Коэффициент $b = -36$ четный, поэтому находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Подставляем значения в формулу:

$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 77}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 308}}{4} = \frac{18 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4}$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$

$x_2 = \frac{18 - 4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5; 5,5$.

3) $5x^2 - 16x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = -16$, $c = 3$.

Коэффициент $b = -16$ четный, поэтому $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Подставляем значения в формулу:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 5 \cdot 3}}{5} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 15}}{5} = \frac{8 \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{8 \pm 7}{5}$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$x_2 = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}; 3$.

4) $7y^2 - 20y + 14 = 0$

Коэффициенты: $a = 7$, $b = -20$, $c = 14$.

Коэффициент $b = -20$ четный, находим $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Подставляем значения в формулу для переменной $y$:

$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 7 \cdot 14}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 98}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.

Корни этого уравнения являются иррациональными числами:

$y_1 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$

$y_2 = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}$

Ответ: $\frac{10 - \sqrt{2}}{7}; \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.