Номер 7.13, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.13.

1) $9x - 5x^2 = -2;$

2) $a^2 = 52a - 576;$

3) $-y^2 = 5y - 14;$

4) $c^2 - 25 = c - 5.$

1) $9x - 5x^2 = -2$
Для решения данного квадратного уравнения сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$-5x^2 + 9x + 2 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:
$5x^2 - 9x - 2 = 0$
Теперь найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-9$, $c=-2$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2$
$x_2 = \frac{-(-9) - 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$
Ответ: $-0.2; 2$

2) $a^2 = 52a - 576$
Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$a^2 - 52a + 576 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант. Коэффициенты: $A=1$, $B=-52$, $C=576$.
$D = B^2 - 4AC = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 - 2304 = 400$
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни по формуле $a_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$a_1 = \frac{-(-52) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{52 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$a_2 = \frac{-(-52) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{52 - 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Ответ: $16; 36$

3) $-y^2 = 5y - 14$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$-y^2 - 5y + 14 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Решим уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-14$.
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 2$

4) $c^2 - 25 = c - 5$
Приведем уравнение к стандартному виду, собрав все члены в левой части:
$c^2 - c - 25 + 5 = 0$
$c^2 - c - 20 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $A=1$, $B=-1$, $C=-20$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $c_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$c_1 = \frac{-(-1) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$c_2 = \frac{-(-1) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $-4; 5$