Номер 7.7, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.7.1) $2x^2 - 7x + 6 = 0;$

2) $25x^2 + 90x + 81 = 0;$

3) $5x^2 - 12x + 4 = 0;$

4) $36x^2 - 84x + 49 = 0.$

1) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=-7$, $c=6$.

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $25x^2 + 90x + 81 = 0$

Это квадратное уравнение. Заметим, что его левая часть является полным квадратом. Выражение $25x^2$ - это квадрат $(5x)$, $81$ - это квадрат $9$, а средний член $90x$ равен удвоенному произведению $2 \cdot 5x \cdot 9$.

Таким образом, мы имеем дело с формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(5x + 9)^2 = 0$.

Из этого следует, что выражение в скобках равно нулю:

$5x + 9 = 0$.

$5x = -9$.

$x = -\frac{9}{5} = -1.8$.

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Ответ: $x = -1.8$.

3) $5x^2 - 12x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=5$, $b=-12$, $c=4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-12) + 8}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-12) - 8}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{5}$.

4) $36x^2 - 84x + 49 = 0$

Это квадратное уравнение. Как и в пункте 2, левая часть представляет собой полный квадрат. Выражение $36x^2$ - это квадрат $(6x)$, $49$ - это квадрат $7$, а средний член $-84x$ равен $-2 \cdot 6x \cdot 7$.

Таким образом, мы имеем дело с формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Уравнение можно переписать в виде: $(6x - 7)^2 = 0$.

Отсюда следует, что:

$6x - 7 = 0$.

$6x = 7$.

$x = \frac{7}{6}$.

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.