Вопросы, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для каких квадратных уравнений можно использовать формулы корней квадратного уравнения?

2. Для каких квадратных уравнений не всегда целесообразно использовать формулы корней квадратного уравнения?

3. Какой формулой можно воспользоваться при нахождении корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент — четное число?

1. Для каких квадратных уравнений можно использовать формулы корней квадратного уравнения?
Формулы корней квадратного уравнения являются универсальным методом решения и могут быть использованы для абсолютно любого квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем главный коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).
Стандартные формулы для нахождения корней через дискриминант:
1. Вычисляется дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
2. Находятся корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Эти формулы применимы всегда, когда уравнение является квадратным, независимо от значений коэффициентов $b$ и $c$, и от знака дискриминанта $D$. Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни. Если $D < 0$, уравнение имеет комплексные корни, но сами формулы остаются верными. Таким образом, ограничений на их применение для квадратных уравнений нет.
Ответ: Формулы корней можно использовать для решения любого квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ при $a \ne 0$.

2. Для каких квадратных уравнений не всегда целесообразно использовать формулы корней квадратного уравнения?
Хотя общие формулы корней универсальны, их использование не всегда является самым рациональным и быстрым способом. Существуют частные случаи, когда решение можно найти проще и быстрее.

• Неполные квадратные уравнения. Это уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ($a$), равен нулю.
  • Если свободный член $c=0$, уравнение принимает вид $ax^2+bx=0$. Его легко решить вынесением $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$. Отсюда сразу получаем корни: $x_1=0$ и $x_2 = -b/a$.
  • Если второй коэффициент $b=0$, уравнение принимает вид $ax^2+c=0$. Отсюда $x^2 = -c/a$, и если $-c/a \ge 0$, то корни равны $x_{1,2} = \pm\sqrt{-c/a}$.
  • Если $b=0$ и $c=0$, уравнение имеет вид $ax^2=0$, и его единственный корень $x=0$.

• Приведенные квадратные уравнения. Это уравнения, где старший коэффициент $a=1$, то есть уравнения вида $x^2+px+q=0$. Для таких уравнений часто удобно использовать теорему Виета. Согласно ей, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1+x_2=-p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1x_2=q$). Если корни являются целыми числами, их часто можно легко подобрать устно.
• Уравнения с особыми соотношениями коэффициентов.
  • Если сумма всех коэффициентов равна нулю ($a+b+c=0$), то один из корней всегда равен $1$, а второй легко находится по теореме Виета как $x_2=c/a$.
  • Если выполняется соотношение $a-b+c=0$, то один из корней всегда равен $-1$, а второй, соответственно, $x_2=-c/a$.

В этих случаях применение общих формул приведет к правильному ответу, но потребует больше вычислений и времени, а также увеличит вероятность арифметической ошибки.
Ответ: Использование общих формул не всегда целесообразно для неполных квадратных уравнений, приведенных квадратных уравнений (для которых применима теорема Виета) и уравнений, у которых коэффициенты имеют специальные соотношения.

3. Какой формулой можно воспользоваться при нахождении корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент — четное число?
Если в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ второй коэффициент $b$ является четным числом, то для нахождения корней можно использовать упрощенную (или "короткую") формулу. Она позволяет работать с меньшими числами, что упрощает вычисления.
Пусть $b = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда $k = \frac{b}{2}$.
Подставим $b=2k$ в стандартную формулу корней:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt{(2k)^2 - 4ac} = \sqrt{4k^2 - 4ac} = \sqrt{4(k^2 - ac)} = 2\sqrt{k^2 - ac}$
Теперь подставим это обратно в формулу:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$
Сократим дробь на 2:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$
Выражение $D_1 = k^2 - ac$ называют "дискриминантом на 4" или "вторым дискриминантом", так как $D_1 = D/4$.
Таким образом, итоговая формула выглядит так:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$ и $D_1 = k^2 - ac$.
Ответ: При четном втором коэффициенте $b$ можно использовать формулу $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.