Номер 6.27, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.27. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе алгебраической дроби:

1) $\frac{4}{3\sqrt{5}}$;

2) $\frac{a+3}{\sqrt{a-2}}$;

3) $\frac{a^3+3,8}{\sqrt{a^2-5}}$;

4) $\frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a}$;

5) $\frac{c-8}{\sqrt{c}-3}$;

6) $\frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{3\sqrt{5}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $ \sqrt{5} $. Это позволит избавиться от квадратного корня в знаменателе, так как $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $.

$ \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5}}{15} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{a+3}{\sqrt{a}-2} $ находится выражение вида $ \sqrt{x} - y $. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, которым является $ \sqrt{a}+2 $. При умножении знаменателя на сопряженное выражение используем формулу разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

$ \frac{a+3}{\sqrt{a}-2} = \frac{(a+3)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{a-4} $

Ответ: $ \frac{a\sqrt{a} + 2a + 3\sqrt{a} + 6}{a-4} $

3) В знаменателе дроби $ \frac{a^3 + 3,8}{\sqrt{a^2}-5} $ выражение $ \sqrt{a^2} $ равно $ |a| $. Таким образом, дробь принимает вид $ \frac{a^3 + 3,8}{|a|-5} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ |a|+5 $.

$ \frac{a^3 + 3,8}{|a|-5} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{(|a|-5)(|a|+5)} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{|a|^2 - 5^2} = \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{a^2 - 25} $

Ответ: $ \frac{(a^3 + 3,8)(|a|+5)}{a^2 - 25} $

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a} $, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{2}+a $. В знаменателе применяем формулу разности квадратов.

$ \frac{a^2-4}{\sqrt{2}-a} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{(\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{(\sqrt{2})^2 - a^2} = \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{2-a^2} $

Ответ: $ \frac{(a^2-4)(\sqrt{2}+a)}{2-a^2} $

5) Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{c-8}{\sqrt{c}-3} $ на выражение $ \sqrt{c}+3 $, сопряженное знаменателю. В знаменателе снова используем формулу разности квадратов.

$ \frac{c-8}{\sqrt{c}-3} = \frac{(c-8)(\sqrt{c}+3)}{(\sqrt{c}-3)(\sqrt{c}+3)} = \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{(\sqrt{c})^2 - 3^2} = \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{c-9} $

Ответ: $ \frac{c\sqrt{c}+3c-8\sqrt{c}-24}{c-9} $

6) В дроби $ \frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2} $ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{c}-2 $.

$ \frac{c^2-16}{\sqrt{c}+2} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{(\sqrt{c}+2)(\sqrt{c}-2)} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{(\sqrt{c})^2 - 2^2} = \frac{(c^2-16)(\sqrt{c}-2)}{c-4} $

Заметим, что числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ c^2-16 = (c-4)(c+4) $.

$ \frac{(c-4)(c+4)(\sqrt{c}-2)}{c-4} $

При условии, что $ c \neq 4 $, мы можем сократить дробь на $ (c-4) $.

$ (c+4)(\sqrt{c}-2) $

Полученное выражение является ответом. Можно также раскрыть скобки: $ c\sqrt{c}-2c+4\sqrt{c}-8 $.

Ответ: $ (c+4)(\sqrt{c}-2) $