Номер 6.31, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.31. В выражении выделите квадрат двучлена:

1) $x^2 - 8x + 39;$

2) $x^2 + 12x - 9;$

3) $2x^2 - 22x - 37.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 - 8x + 39$, необходимо использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-8x$ соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Из уравнения $-2xb = -8x$ находим, что $b = 4$. Для получения полного квадрата нам нужен член $b^2 = 4^2 = 16$. Чтобы не изменить значение исходного выражения, мы добавим и вычтем 16: $x^2 - 8x + 39 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 39$. Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x-4)^2$. Подставим его обратно и выполним вычисления: $(x-4)^2 - 16 + 39 = (x-4)^2 + 23$.
Ответ: $(x-4)^2 + 23$.

2) Для выражения $x^2 + 12x - 9$ применяется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2$ соответствует $x^2$, то есть $a=x$. Член $12x$ соответствует $2ab$. Из $2xb = 12x$ получаем $b = 6$. Для полного квадрата необходим член $b^2 = 6^2 = 36$. Добавим и вычтем 36 в исходном выражении: $x^2 + 12x - 9 = (x^2 + 12x + 36) - 36 - 9$. Выражение в скобках сворачивается в полный квадрат $(x+6)^2$. Подставим и вычислим оставшуюся часть: $(x+6)^2 - 36 - 9 = (x+6)^2 - 45$.
Ответ: $(x+6)^2 - 45$.

3) В выражении $2x^2 - 22x - 37$ коэффициент при $x^2$ отличен от единицы. Первым шагом вынесем этот коэффициент (2) за скобки для членов, содержащих переменную $x$: $2x^2 - 22x - 37 = 2(x^2 - 11x) - 37$. Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках, $x^2 - 11x$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, а $-11x$ это $-2ab$. Из $-2xb = -11x$ находим $b = \frac{11}{2}$. Соответственно, $b^2 = (\frac{11}{2})^2 = \frac{121}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{121}{4}$ внутри скобок: $2(x^2 - 11x + \frac{121}{4} - \frac{121}{4}) - 37$. Сгруппируем члены в полный квадрат и раскроем скобки: $2\left( (x^2 - 11x + \frac{121}{4}) - \frac{121}{4} \right) - 37 = 2(x - \frac{11}{2})^2 - 2 \cdot \frac{121}{4} - 37$. Упростим полученное выражение: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{121}{2} - 37$. Приведем свободные члены к общему знаменателю и сложим их: $- \frac{121}{2} - 37 = - \frac{121}{2} - \frac{74}{2} = - \frac{195}{2}$. Окончательный вид выражения: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{195}{2}$.
Ответ: $2(x - \frac{11}{2})^2 - \frac{195}{2}$.