Номер 6.24, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (6.24–6.25):

6.24.1)

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $3x^2 + 2|x| = 0;$

3) $x|x| - 3.8x = 0;$

4) $4x^2 + 5|x| - x = 0;$

5) $x^2 - 3|x| + 7x = 0;$

6) $5x|x| - 3.5x = 0.$

1) $x^2 - 3|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение в виде $|x|^2 - 3|x| = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $t^2 - 3t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t - 3) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Если $t = 0$, то $|x| = 0$, откуда $x = 0$.

Если $t = 3$, то $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; 0; 3$.

2) $3x^2 + 2|x| = 0$

Так как для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, то и $3x^2 \ge 0$ и $2|x| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $3x^2$ и $2|x|$ равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.

$3x^2 = 0 \implies x = 0$.

$2|x| = 0 \implies x = 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $0$.

3) $x|x| - 3,8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(|x| - 3,8) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x = 0$.

2. $|x| - 3,8 = 0$, откуда $|x| = 3,8$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3,8$ и $x = -3,8$.

Таким образом, получаем три решения.

Ответ: $-3,8; 0; 3,8$.

4) $4x^2 + 5|x| - x = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

Уравнение принимает вид: $4x^2 + 5x - x = 0$, что упрощается до $4x^2 + 4x = 0$.

Вынесем $4x$ за скобки: $4x(x + 1) = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 0$.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

Уравнение принимает вид: $4x^2 + 5(-x) - x = 0$, что упрощается до $4x^2 - 6x = 0$.

Вынесем $2x$ за скобки: $2x(2x - 3) = 0$.

Корни этого уравнения: $x_3 = 0$ и $2x - 3 = 0 \implies x_4 = 1,5$.

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.

Ответ: $0$.

5) $x^2 - 3|x| + 7x = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

Уравнение становится: $x^2 - 3x + 7x = 0$, или $x^2 + 4x = 0$.

Факторизуем: $x(x + 4) = 0$.

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

Уравнение становится: $x^2 - 3(-x) + 7x = 0$, или $x^2 + 3x + 7x = 0$, что равносильно $x^2 + 10x = 0$.

Факторизуем: $x(x + 10) = 0$.

Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -10$.

Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x_4 = -10$.

Объединяя найденные в обоих случаях корни, получаем два решения.

Ответ: $-10; 0$.

6) $5x|x| - 3,5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5|x| - 3,5) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $x = 0$.

2. $5|x| - 3,5 = 0$, откуда $5|x| = 3,5$, и $|x| = 3,5 / 5 = 0,7$.

Уравнение $|x| = 0,7$ имеет два корня: $x = 0,7$ и $x = -0,7$.

В итоге получаем три решения.

Ответ: $-0,7; 0; 0,7$.