Номер 6.18, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.18. Напишите общий вид квадратного уравнения, у которого:

1) один из корней равен нулю;

2) корни равны по модулю, но противоположны по знаку;

3) оба корня равны нулю.

1) один из корней равен нулю;

Общий вид квадратного уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Если один из корней равен нулю, например, $x_1 = 0$, то их произведение также будет равно нулю: $0 \cdot x_2 = 0$. Отсюда следует, что $\frac{c}{a} = 0$. Поскольку по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, то свободный член $c$ должен быть равен нулю ($c=0$). При этом коэффициент $b$ может быть любым действительным числом. Уравнение принимает вид неполного квадратного уравнения.

Ответ: $ax^2 + bx = 0$, где $a \neq 0$.

2) корни равны по модулю, но противоположны по знаку;

Если корни уравнения $x_1$ и $x_2$ равны по модулю, но противоположны по знаку, это означает, что $x_2 = -x_1$ (при условии, что $x_1 \neq 0$). Сумма таких корней всегда равна нулю: $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$. По теореме Виета, сумма корней также равна $-\frac{b}{a}$. Следовательно, мы имеем равенство $-\frac{b}{a} = 0$, из которого, так как $a \neq 0$, следует, что $b=0$. Уравнение приобретает вид $ax^2 + c = 0$. Чтобы такое уравнение имело два действительных ненулевых корня, необходимо, чтобы $x^2 = -\frac{c}{a}$ было положительным числом. Это возможно только если $\frac{c}{a} < 0$, то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки.

Ответ: $ax^2 + c = 0$, где $a \neq 0$ и $ac < 0$.

3) оба корня равны нулю.

Если оба корня уравнения равны нулю ($x_1 = 0$ и $x_2 = 0$), то и их сумма, и их произведение равны нулю. Применим теорему Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 0 + 0 = 0$. Так как $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, то $-\frac{b}{a} = 0$, откуда $b=0$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 0 = 0$. Так как $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то $\frac{c}{a} = 0$, откуда $c=0$.

Таким образом, для выполнения данного условия необходимо, чтобы коэффициенты $b$ и $c$ были равны нулю, а старший коэффициент $a$ по определению был отличен от нуля.

Ответ: $ax^2 = 0$, где $a \neq 0$.