Номер 7.4, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (7.4–7.9):

7.4 1) $x^2 - 6x + 8 = 0$;

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$;

3) $3y^2 - 8y + 4 = 0$;

4) $-2y^2 + 9y - 10 = 0$.

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для решения найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-6) - 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $6$, а их произведение равно $8$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 4.

Ответ: 2; 4.

2) $x^2 - 12x + 11 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=11$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-12) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

$x_2 = \frac{-(-12) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

По теореме Виета: сумма корней равна $12$, произведение равно $11$. Корни: 1 и 11.

Ответ: 1; 11.

3) $3y^2 - 8y + 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-8$, $c=4$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-(-8) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$y_2 = \frac{-(-8) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 2.

4) $-2y^2 + 9y - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $y^2$ стал положительным: $2y^2 - 9y + 10 = 0$.

Теперь коэффициенты равны $a=2$, $b=-9$, $c=10$. Вычислим дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-(-9) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.

$y_2 = \frac{-(-9) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2; 2,5.