Вопросы, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2. Может ли квадратное уравнение иметь три корня?

1. Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Существует три возможных случая, которые можно наглядно представить в виде пересечения параболы (графика функции $y=ax^2+bx+c$) с осью абсцисс (Ox):

1. Два различных корня.
Если дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Они находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Графически это означает, что парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Пример: для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$, дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = 2$.

2. Один корень (два совпадающих).
Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Этот корень находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$. Графически это означает, что вершина параболы касается оси Ox в одной точке.
Пример: для уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$, дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 3$.

3. Нет действительных корней.
Если дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. В поле действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Графически это означает, что парабола не пересекает и не касается оси Ox.
Пример: для уравнения $x^2 + 2x + 5 = 0$, дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Квадратное уравнение может иметь ноль, один или два действительных корня.

2. Нет, квадратное уравнение не может иметь три корня. Это следует из основной теоремы алгебры, а также может быть доказано более простым способом.

Обоснование:

1. С точки зрения основной теоремы алгебры. Эта теорема утверждает, что любой многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ корней (с учетом их кратности и комплексных корней). Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) является многочленом второй степени ($n=2$). Следовательно, оно может иметь не более двух корней.

2. Доказательство от противного. Предположим, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ есть три различных корня: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то квадратный трехчлен можно разложить на множители: $a(x-x_1)(x-x_2)$. Поскольку $x_3$ тоже является корнем, при подстановке его в уравнение мы должны получить ноль:
$a(x_3-x_1)(x_3-x_2) = 0$

По определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Значит, чтобы произведение было равно нулю, один из множителей в скобках должен быть равен нулю: либо $x_3 - x_1 = 0$, либо $x_3 - x_2 = 0$. Отсюда следует, что $x_3 = x_1$ или $x_3 = x_2$. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что все три корня различны. Следовательно, квадратное уравнение не может иметь три различных корня.

Примечание: уравнение вида $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$ имеет бесконечно много решений (любое число является корнем), но оно не является квадратным, так как старший коэффициент $a=0$.

Ответ: Нет, квадратное уравнение не может иметь три корня.