Номер 3.22, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.22. Имеет ли смысл выражение:

1) $7x$ при $x \ge 0;

2) $\sqrt{-2x - 4}$ при $x > 0;

3) $\sqrt{-12x + 3}$ при $x < 0;

4) $-0,01\sqrt{5x + 2,34}$ при $x > 0?$

1) Выражение $7x$ является произведением числа 7 на переменную $x$. Эта операция определена для любых действительных чисел $x$. Условие $x \ge 0$ лишь сужает область возможных значений $x$. Поскольку для любого $x$ из этого промежутка (например, $x=0$ или $x=5$) можно вычислить значение выражения $7x$, то выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

2) Выражение $\sqrt{-2x - 4}$ содержит квадратный корень. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $-2x - 4 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$-2x \ge 4$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -2$

Таким образом, выражение имеет смысл только при $x \le -2$. Однако, по условию задачи, дано, что $x > 0$. Множества значений $x \le -2$ и $x > 0$ не пересекаются. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы условию задачи и при котором выражение имело бы смысл.

Ответ: нет, не имеет смысла.

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{-12x + 3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-12x + 3 \ge 0$.

Решим неравенство:

$-12x \ge -3$

Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-3}{-12}$

$x \le \frac{1}{4}$ или $x \le 0,25$

Выражение имеет смысл при $x \le 0,25$. По условию задачи, дано, что $x < 0$. Множество значений $x < 0$ является подмножеством множества $x \le 0,25$. Если $x$ - отрицательное число, то произведение $-12x$ будет положительным числом. Сумма положительного числа $(-12x)$ и положительного числа $3$ всегда будет положительной. Следовательно, для всех $x < 0$ подкоренное выражение положительно, и корень из него извлечь можно.

Ответ: да, имеет смысл.

4) Выражение $-0,01\sqrt{5x + 2,34}$ имеет смысл, если имеет смысл квадратный корень $\sqrt{5x + 2,34}$. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x + 2,34 \ge 0$.

Решим это неравенство:

$5x \ge -2,34$

$x \ge -\frac{2,34}{5}$

$x \ge -0,468$

Выражение имеет смысл при $x \ge -0,468$. По условию задачи, дано, что $x > 0$. Множество значений $x > 0$ является подмножеством множества $x \ge -0,468$. Если $x$ - положительное число, то произведение $5x$ также будет положительным. Сумма положительного числа ($5x$) и положительного числа $2,34$ всегда будет положительной. Таким образом, для всех $x > 0$ подкоренное выражение положительно, и выражение в целом имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.