Номер 2.22, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.22. Равны ли значения числовых выражений:

1) $\sqrt{100}$ и $\sqrt{4 \cdot \sqrt{25}}$ ;

2) $\sqrt{3600}$ и $\sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$ ;

3) $\sqrt{169}$ и $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$ ?

1) Чтобы определить, равны ли значения выражений $\sqrt{100}$ и $\sqrt{4} \cdot \sqrt{25}$, мы можем вычислить значение каждого выражения отдельно.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{100} = 10$.

Вычислим значение второго выражения:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.

Сравнивая результаты, мы видим, что $10 = 10$.

В качестве альтернативного решения можно использовать свойство корня из произведения, которое гласит, что для неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
В нашем случае $100 = 4 \cdot 25$, поэтому:
$\sqrt{100} = \sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25}$.
Это доказывает, что значения выражений равны, не прибегая к полным вычислениям.

Ответ: да, значения выражений равны.

2) Сравним значения выражений $\sqrt{3600}$ и $\sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = 6 \cdot 10 = 60$.

Вычислим значение второго выражения:
$\sqrt{144} \cdot \sqrt{25} = 12 \cdot 5 = 60$.

Сравнивая результаты, получаем $60 = 60$.

Также, как и в предыдущем пункте, можно применить свойство корня из произведения. Проверим, равно ли подкоренное выражение первого корня произведению подкоренных выражений второго:
$144 \cdot 25 = 144 \cdot \frac{100}{4} = 36 \cdot 100 = 3600$.
Поскольку $3600 = 144 \cdot 25$, то на основании свойства корня из произведения $\sqrt{3600} = \sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$.

Ответ: да, значения выражений равны.

3) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{169}{100}}$ и $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$.

Для решения этой задачи используется свойство корня из частного (дроби): $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применив это свойство к первому выражению, мы видим, что оно в точности равно второму выражению:
$\sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}$.
Это означает, что выражения тождественно равны. Мы можем подтвердить это, вычислив их значения.

Вычислим значение первого выражения:
$\sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1,3$.

Вычислим значение второго выражения:
$\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1,3$.

Результаты совпадают: $1,3 = 1,3$.

Ответ: да, значения выражений равны.