Номер 10.2, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.2. 1) $ \frac{x^2}{x+4} - 2 = 0; $

2) $ \frac{x^2}{2x+3} - \frac{x}{2} = 0; $

3) $ \frac{x^2 - 4}{4} - \frac{2x + 3}{2} = 0; $

4) $ \frac{x^2 + 4x}{x+2} - \frac{2x}{3} = 0. $

1) $\frac{x^2}{x+4} - 2 = 0$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Перенесем 2 в правую часть уравнения и умножим обе части на знаменатель $x+4$:

$\frac{x^2}{x+4} = 2$

$x^2 = 2(x+4)$

$x^2 = 2x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8.

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -4$), следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -2$.

2) $\frac{x^2}{2x+3} - \frac{x}{2} = 0$

Найдем ОДЗ: знаменатель $2x+3$ не должен быть равен нулю.

$2x+3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -1.5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2(2x+3)$:

$\frac{2 \cdot x^2}{2(2x+3)} - \frac{x \cdot (2x+3)}{2(2x+3)} = 0$

$\frac{2x^2 - x(2x+3)}{2(2x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю:

$2x^2 - x(2x+3) = 0$

$2x^2 - 2x^2 - 3x = 0$

$-3x = 0$

$x = 0$

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq -1.5$), поэтому является решением уравнения.

Ответ: $0$.

3) $\frac{x^2-4}{4} - \frac{2x+3}{2} = 0$

В данном уравнении знаменатели являются числами, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in R$).

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{x^2-4}{4} - \frac{2(2x+3)}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x^2-4) - 2(2x+3) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 4x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 2 \pm \sqrt{14}$

Ответ: $2 - \sqrt{14}; 2 + \sqrt{14}$.

4) $\frac{x^2+4x}{x+2} - \frac{2x}{3} = 0$

Найдем ОДЗ: знаменатель $x+2$ не должен быть равен нулю.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3(x+2)$:

$\frac{3(x^2+4x)}{3(x+2)} - \frac{2x(x+2)}{3(x+2)} = 0$

$\frac{3(x^2+4x) - 2x(x+2)}{3(x+2)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3(x^2+4x) - 2x(x+2) = 0$

$3x^2 + 12x - 2x^2 - 4x = 0$

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+8=0 \implies x_2 = -8$

Оба корня ($0$ и $-8$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$), значит, они являются решениями.

Ответ: $-8; 0$.