Номер 9.32, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.32. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11;$

2) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3};$

3) $\frac{2x^2 - x - 0,5}{2} = \frac{8x - 7}{4}.$

1) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 2 \cdot 11x = 2 \cdot 11$

$x^2 - 1 - 22x = 22$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$

$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=-22$, $c=-23$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$

Так как $D > 0$, у уравнения два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$x_1 = \frac{22 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{46}{2} = 23$

$x_2 = \frac{22 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1; 23.

2) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 3x = 16x - 14$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$

$3x^2 - 13x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: 2; $2\frac{1}{3}$.

3) $\frac{2x^2 - x - 0,5}{2} = \frac{8x - 7}{4}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 4:

$4 \cdot \frac{2x^2 - x - 0.5}{2} = 4 \cdot \frac{8x - 7}{4}$

$2(2x^2 - x - 0.5) = 8x - 7$

Раскроем скобки:

$4x^2 - 2x - 1 = 8x - 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 2x - 8x - 1 + 7 = 0$

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: 1; 1,5.