Номер 9.24, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.24. 1) $a^3 + 9a^2 - 4a - 36;$

2) $a^4 - 2a^3 + a^2 - 36.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 + 9a^2 - 4a - 36$, применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.
$a^3 + 9a^2 - 4a - 36 = (a^3 + 9a^2) + (-4a - 36)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^2$, а во второй группе вынесем $-4$.
$a^2(a + 9) - 4(a + 9)$
Теперь у нас есть общий множитель $(a + 9)$, который мы также можем вынести за скобки.
$(a + 9)(a^2 - 4)$
Второе выражение в скобках, $a^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$(a + 9)(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a + 9)$

2) Рассмотрим многочлен $a^4 - 2a^3 + a^2 - 36$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат.
$(a^4 - 2a^3 + a^2) - 36$
Вынесем за скобки $a^2$ из сгруппированных слагаемых.
$a^2(a^2 - 2a + 1) - 36$
Выражение в скобках $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности $(a - 1)^2$.
$a^2(a - 1)^2 - 36$
Это выражение можно представить в виде разности квадратов, где первое слагаемое — это $(a(a-1))^2$, а второе — $6^2$.
$(a(a-1))^2 - 6^2$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(a(a-1) - 6)(a(a-1) + 6)$
Теперь раскроем скобки внутри каждого из полученных множителей.
$(a^2 - a - 6)(a^2 - a + 6)$
Первый множитель $a^2 - a - 6$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни — это 3 и -2. Значит, его можно разложить на множители:
$a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$
Второй множитель $a^2 - a + 6$ — также квадратный трехчлен. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, окончательное разложение многочлена:
$(a - 3)(a + 2)(a^2 - a + 6)$
Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - a + 6)$