Номер 9.20, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители выражения (9.20—9.24):

9.20. 1) $14y + 5y^2 - y^3$;

2) $-35y + 2y^2 + y^3$;

3) $-20y + y^2 + y^3$;

4) $14y + 3y^2 - 11y^3$.

1) Разложим на множители выражение $14y + 5y^2 - y^3$.
Сначала вынесем общий множитель $y$ за скобки:$y(14 + 5y - y^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $14 + 5y - y^2$. Для этого найдем корни уравнения $-y^2 + 5y + 14 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить стандартный вид:$y^2 - 5y - 14 = 0$.
Найдем корни с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а произведение равно $-14$. Подбором находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -2$.
Разложение для $y^2 - 5y - 14$ имеет вид $(y - 7)(y - (-2)) = (y - 7)(y + 2)$.
Следовательно, для $-y^2 + 5y + 14$ разложение будет $-(y - 7)(y + 2) = (7 - y)(y + 2)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(7 - y)(y + 2)$.
Ответ: $y(7-y)(y+2)$.

2) Разложим на множители выражение $-35y + 2y^2 + y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки и упорядочим слагаемые:$y(y^2 + 2y - 35)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + 2y - 35$, решив уравнение $y^2 + 2y - 35 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-35$. Корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -7$.
Следовательно, разложение трехчлена: $(y - 5)(y - (-7)) = (y - 5)(y + 7)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(y - 5)(y + 7)$.
Ответ: $y(y+7)(y-5)$.

3) Разложим на множители выражение $-20y + y^2 + y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки и упорядочим слагаемые:$y(y^2 + y - 20)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + y - 20$, решив уравнение $y^2 + y - 20 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Следовательно, разложение трехчлена: $(y - 4)(y - (-5)) = (y - 4)(y + 5)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(y - 4)(y + 5)$.
Ответ: $y(y+5)(y-4)$.

4) Разложим на множители выражение $14y + 3y^2 - 11y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:$y(14 + 3y - 11y^2)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $-11y^2 + 3y + 14$, решив уравнение $-11y^2 + 3y + 14 = 0$.
Умножим на $-1$: $11y^2 - 3y - 14 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625$.
Найдем корни уравнения:$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{625}}{2 \cdot 11} = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{625}}{2 \cdot 11} = \frac{3 - 25}{22} = \frac{-22}{22} = -1$.
Разложение для $11y^2 - 3y - 14$ имеет вид $11(y - \frac{14}{11})(y - (-1)) = (11y - 14)(y + 1)$.
Следовательно, для $-11y^2 + 3y + 14$ разложение будет $-(11y - 14)(y + 1) = (14 - 11y)(y + 1)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(14 - 11y)(y + 1)$.
Ответ: $y(14-11y)(y+1)$.