Номер 9.14, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.14. 1) $7x^2 + x - 8$;

2) $5x^2 + 8x + 3$;

3) $-2x^2 + 7x - 3$;

4) $2x^2 - 2x + 0,25$.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=7, b=1, c=-8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$.
Теперь используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
$7x^2 + x - 8 = 7(x - 1)(x - (-\frac{8}{7})) = 7(x - 1)(x + \frac{8}{7})$.
Для удобства внесем множитель 7 во вторую скобку:
$7(x - 1)(x + \frac{8}{7}) = (x - 1)(7x + 7 \cdot \frac{8}{7}) = (x - 1)(7x + 8)$.
Ответ: $(x - 1)(7x + 8)$.

2) Чтобы разложить трехчлен $5x^2 + 8x + 3$ на множители, решим уравнение $5x^2 + 8x + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=8, c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
$x_2 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.
Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$5x^2 + 8x + 3 = 5(x - (-\frac{3}{5}))(x - (-1)) = 5(x + \frac{3}{5})(x + 1)$.
Умножим первую скобку на коэффициент 5:
$5(x + \frac{3}{5})(x + 1) = (5x + 3)(x + 1)$.
Ответ: $(5x + 3)(x + 1)$.

3) Для разложения на множители трехчлена $-2x^2 + 7x - 3$ найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=-2, b=7, c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 49 - 24 = 25$.
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$.
Подставим корни в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-2x^2 + 7x - 3 = -2(x - \frac{1}{2})(x - 3)$.
Внесем множитель -2 в первую скобку:
$-2(x - \frac{1}{2})(x - 3) = (-2x + 1)(x - 3)$ или $(1 - 2x)(x - 3)$.
Ответ: $(1 - 2x)(x - 3)$.

4) Разложим на множители трехчлен $2x^2 - 2x + 0.25$. Для этого решим уравнение $2x^2 - 2x + 0.25 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-2, c=0.25$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0.25 = 4 - 8 \cdot 0.25 = 4 - 2 = 2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
Подставим найденные корни в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 - 2x + 0.25 = 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.
Ответ: $2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.