Номер 9.9, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.9. Докажите, что при любых значениях $x$ принимает положительные значения квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 4x + 17$;

2) $x^2 - 6x + 17$;

3) $x^2 - 8x + 17$;

4) $x^2 - 5x + 17$.

1) Чтобы доказать, что трехчлен $x^2 + 4x + 17$ принимает положительные значения при любых $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Представим выражение в виде: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $x^2 + 4x + 17 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 17 = (x + 2)^2 + 13$. Выражение $(x + 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 13 = 13$. Поскольку $13 > 0$, исходный трехчлен всегда положителен. Ответ: Выражение $x^2 + 4x + 17$ равно $(x+2)^2 + 13$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, а 13 — положительное число, их сумма всегда положительна, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что трехчлен $x^2 - 6x + 17$ всегда положителен, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Представим выражение в виде: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем 9: $x^2 - 6x + 17 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 17 = (x - 3)^2 + 8$. Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 8 = 8$. Поскольку $8 > 0$, исходный трехчлен всегда принимает положительные значения. Ответ: Выражение $x^2 - 6x + 17$ равно $(x-3)^2 + 8$. Эта сумма всегда положительна, так как состоит из неотрицательного слагаемого $(x-3)^2$ и положительного числа 8, что и требовалось доказать.

3) Для доказательства, что трехчлен $x^2 - 8x + 17$ всегда положителен, выделим полный квадрат. Представим выражение в виде: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $4^2=16$. Добавим и вычтем 16: $x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 17 = (x - 4)^2 + 1$. Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, $(x - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 1 = 1$. Поскольку $1 > 0$, исходный трехчлен всегда принимает положительные значения. Ответ: Выражение $x^2 - 8x + 17$ равно $(x-4)^2 + 1$. Эта сумма всегда положительна, так как является суммой неотрицательного слагаемого $(x-4)^2$ и положительного числа 1, что и требовалось доказать.

4) Докажем, что трехчлен $x^2 - 5x + 17$ всегда положителен, выделив полный квадрат. Представим $5x$ как $2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число: $x^2 - 5x + 17 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 17 = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{-25+68}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{43}{4}$. Так как $(x - \frac{5}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{43}{4} > 0$, то их сумма всегда будет положительной. Наименьшее значение выражения равно $0 + \frac{43}{4} = \frac{43}{4}$, что больше нуля. Ответ: Выражение $x^2 - 5x + 17$ равно $(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{43}{4}$. Так как $(x - \frac{5}{2})^2$ всегда неотрицательно, а $\frac{43}{4}$ — положительное число, их сумма всегда положительна, что и требовалось доказать.