Номер 9.12, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.12. При каких значениях переменной $x$ принимает неотрицательные значения квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 4x - 21$;

2) $x^2 + 10x + 21$;

3) $-x^2 + 2x - 7$;

4) $6x^2 - 13x + 6$?

1) $x^2 + 4x - 21$

Чтобы найти, при каких значениях переменной $x$ данный квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $x^2 + 4x - 21 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=1$ положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -7$ и $x = 3$. Следовательно, значения трехчлена неотрицательны (больше или равны нулю) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -7$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [3, \infty)$.

2) $x^2 + 10x + 21$

Решим неравенство $x^2 + 10x + 21 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 10x + 21 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{-10 - 4}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-10 + 4}{2} = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 10x + 21$ направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-7$ и $x=-3$. Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках $x \le -7$ и $x \ge -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-3, \infty)$.

3) $-x^2 + 2x - 7$

Необходимо решить неравенство $-x^2 + 2x - 7 \ge 0$.

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + 2x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 4 - 28 = -24$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = -x^2 + 2x - 7$ не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a=-1$ отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси Ox.

Это означает, что значение трехчлена $-x^2 + 2x - 7$ всегда отрицательно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 2x - 7 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) $6x^2 - 13x + 6$

Решаем неравенство $6x^2 - 13x + 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Старший коэффициент $a=6$ положителен, значит ветви параболы $y = 6x^2 - 13x + 6$ направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = \frac{2}{3}$ и $x = \frac{3}{2}$.

Следовательно, трехчлен принимает неотрицательные значения, когда переменная $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни. Это соответствует промежуткам $x \le \frac{2}{3}$ и $x \ge \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [\frac{3}{2}, \infty)$.